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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

en faisant

${\begin{aligned}&{\mathfrak {A}}={\frac {1}{a'^{2n}}}\left[1+n^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{2}+n'^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{4}+n''^{2}\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{6}+\ldots \right],\\&{\mathfrak {B}}={\frac {2}{a'^{2n}}}\left[n\ \left({\frac {a''}{a'}}\right)\ +nn'\ \left({\frac {a''}{a'}}\right)^{3}+n'n''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{5}+\ldots \right],\\&{\mathfrak {C}}\ \,={\frac {2}{a'^{2n}}}\left[n'\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{2}+nn''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{4}+n'n'''\left({\frac {a''}{a'}}\right)^{6}+\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ces séries sont toujours convergentes, lorsque $a'>a''\,;$ mais si l’on avait $a''>a',$ il n’y aurait qu’à changer $a'$ en $a''$ et $a''$ en $a',$ puisque, dans la fonction non développée, les quantités $a'$ et $a''$ entrent également.

Une conséquence qui résulte de la forme de ces séries est que, tant que $n$ est un nombre positif, tous les coefficients ${\mathfrak {A,\,B,\,C}},\ldots$ ont toujours des valeurs positives.

Si l’on fait $n={\frac {1}{2}},$ ces coefficients deviendront $(a',a''),(a',a'')_{1},$ $(a',a'')_{2},\ldots \,;$ et, si l’on fait $n={\frac {3}{2}},$ ils deviendront $[a',a''],[a',a'']_{1},$ $[a',a'']_{2},\ldots .$

99. Il nous reste encore à déterminer l’angle $\mathrm {L} .$ Comme nous négligeons les quantités du troisième ordre etque, dans l’expression de $(\Omega '),$ $\cos \mathrm {L}$ est déjà multiplié par $e'e'',$ on pourra, dans la détermination de l’angle $\mathrm {L} ,$ faire abstraction des quantités très petites du premier ordre, et par conséquent y supposer $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0.$ Or (art. 96)

$\mathrm {L=H+K} ,$

et, faisant $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0$ dans les formules de l’article 94, on a

$\mathrm {A=\cos(H+K),\quad A_{1}=-B=\sin(H+K),\quad A_{2}=0} \,;$

on a aussi, par les formules de cet article,

$\mathrm {A} =\alpha '\alpha ''+\alpha '_{1}\alpha ''_{1}+\alpha '_{2}\alpha ''_{2}=\cos \mathrm {L} .$

Différentions cette valeur de $\cos \mathrm {L} ,$ faisons varier les quantités $\alpha ',\,\alpha '',$ $\alpha '_{1},\ldots ,$ substituons à la place de leurs différentielles les expressions