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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
avec laquelle elle doit devenir identique, il est facile de déduire ces relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a',a'')\ \ =&\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']-a'a''[a',a'']_{1},\\(a',a'')_{1}=&4a'a''[a',a'']-\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9c93141877e175585e2cbb9beda4b382d8ee92)
et, par la substitution de ces valeurs, on aura celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}((a',a''))=&{\frac {1}{8}}a'a''[a',a'']_{1}=((a'',a')),\\\left[(a',a'')\right]=&{\frac {3}{2}}a'a''[a',a'']-{\frac {1}{2}}\left(a'^{2}+a''^{2}\right)[a',a'']_{1}=-{\frac {1}{4}}a'a''[a',a'']_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba44d4de242fa01f3e3999e1c804a7c8766a0ec6)
qu’on substituera dans l’expression de 
de l’article précédent.
À l’égard de la valeur des coefficients 
![{\displaystyle [a',a''],\,[a',a'']_{1},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50daac1a9795bdae87008c8594158b0712365b0)
en fonction de 
on peut les trouver par le développement des radicaux en puissances de 
et par le développement de ces puissances en cosinus d’angles multiples de 
comme Euler l’a fait le premier dans ses Recherches sur Jupiter et Saturne ; mais j’ai trouvé, depuis longtemps, qu’on pouvait les avoir d’une manière plus simple en décomposant le trinôme 
en ses deux facteurs imaginaires
et en développantpar la formule du binôme les puissances 
de chacun de ces facteurs.
Soit, pour abréger,
on aura, en général
et si l’on multiplie ensemble les deux séries qui répondent à 
et à 
et qu’on repasse des exponentielles imaginaires aux cosinus des angles multiples, on aura
