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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

que l’on ait

$(\Omega ')=(\Omega ')_{1}+(\Omega ')_{2},$

on aura

${\begin{aligned}(\Omega ')_{1}=&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} ''\ \left\{{\begin{aligned}&8(a',a'')\ +a'a''[a',a''\,]_{1}\left(e'^{2}+e''^{2}\ \right)\\-&2a'a''[a',a'']_{2}e'e''\cos(\chi '-\chi '')\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '''\left\{{\begin{aligned}&8(a',a''')+a'a'''[a',a''']_{1}\left(e'^{2}+e'''^{2}\right)\\-&2a'a'''[a',a''']_{2}e'e'''\cos(\chi '-\chi ''')\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\Omega ')_{2}=&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}(1-\cos \mathrm {I} ''_{_{'}})\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} '''a'a'''[a',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{'}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}&\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\ =\cos i'\cos i''\,+\cos(h'-h'')\sin i'\sin i'',\\&\cos \mathrm {I} '''_{_{'}}=\cos i'\cos i'''+\cos(h'-h''')\sin i'\sin i''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les angles $\mathrm {I} ''_{_{'}},\,\mathrm {I} '''_{_{'}},\ldots$ étant les inclinaisons de l’orbite de la planète $\mathrm {m} '$ sur celles des planètes $m'',\,m''',\ldots .$

On substituera ainsi $(\Omega ')_{1}+(\Omega ')_{2},$ au lieu de $(\Omega '),$ dans les équations des variations séculaires (art. 76), et l’on accentuera les lettres, pour les rapporter à la planète $\mathrm {m} '$ dont on cherche les variations ; on aura, en négligeant les $e'^{2}$ et mettant simplement $a'$ au lieu de $b$ dans les coefficients des fonctions $(\Omega )_{1}$ et $(\Omega )_{2},$ qui sont déjà du second ordre,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {de'}{dt}}=&-{\frac {1}{e'{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial \chi '}},&{\frac {d\chi '}{dt}}=&{\frac {1}{e'{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}},\\{\frac {di'}{dt}}=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial h'}},&\qquad {\frac {dh'}{dt}}=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial i'}}.\end{alignedat}}$

On aura de pareilles équations pour les variations des éléments de la planète $\mathrm {m} ''$ dans son orbite autour de $\mathrm {m} \,;$ et il n’y aura pour cela qu’à marquer de deux traits les lettres qui ne sont marquées que d’un trait, et au contraire ne marquer que d’un trait les lettres qui le sont de deux.

Ainsi, en observant que les fonctions de $a'$ et $a''$ représentées par