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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

des parenthèses ne changent pas en échangeant entre elles les quantités $a',\,a'',$ on aura

${\begin{aligned}(\Omega '')_{1}=&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '\ \left\{{\begin{aligned}&8(a',a'')\ \ +a'a''\ \ [a',a''\,\ ]_{1}\left(e'^{2}+e''^{2}\ \right)\\-&2\left[(a',a'')\right]_{2}e'e''\cos(\chi '-\chi '')\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{8}}\mathrm {m} '''\left\{{\begin{aligned}&8(a'',a''')+a''a'''[a'',a''']_{1}\left(e''^{2}+e'''^{2}\right)\\-&2a\left[(a'',a''')\right]_{2}e''e'''\cos(\chi ''-\chi ''')\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\Omega '')_{2}=&-{\frac {1}{2}}\mathrm {m} '\ \ a'\ a''\ [a',a'']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '_{_{''}})\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {m} '''a''a'''[a'',a''']_{1}(1-\cos \mathrm {I} '''_{_{''}})\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où

$\cos \mathrm {I} '_{_{''}}=\cos \mathrm {I} ''_{_{'}}\qquad {\text{et}}\qquad \cos \mathrm {I} '''_{_{''}}=\cos i''\cos i'''+\sin(h''-h''')\sin i''\sin i'''\,;$

et les équations des variations seront

${\begin{alignedat}{2}{\frac {de''}{dt}}=&-{\frac {1}{e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial (\Omega '')_{1}}{\partial \chi ''}},&{\frac {d\chi ''}{dt}}=&{\frac {1}{e''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}{\frac {\partial (\Omega '')_{1}}{\partial e''}},\\{\frac {di''}{dt}}=&-{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial (\Omega '')_{2}}{\partial h''}},&\qquad {\frac {dh''}{dt}}=&{\frac {1}{{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial (\Omega '')_{2}}{\partial i''}},\end{alignedat}}$

et ainsi de suite pour les variations des éléments des orbites de $\mathrm {m} ''',$ $\mathrm {m} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ autour de $\mathrm {m} .$

101. Mais nous remarquerons qu’on peut réduire à une seule fonction les différentes fonctions $(\Omega ')_{1},\,(\Omega '')_{1},\ldots ,$ ainsi que les fonctions $(\Omega ')_{2},$ $(\Omega '')_{2},\ldots ,$ ce qui mettra plus de simplicité et d’uniformité dans les formules des variations : en effet, si l’on fait

${\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {m'm''a'a''}{8}}\ \ \left\{8(a'\ ,a''\ )+[a'\ ,a''\ ]_{1}\left(e'^{2}\ +e''^{2}\,\right)-2[a'\ ,a''\ ]_{2}e'e''\ \cos(\chi '-\chi ''\ )\right\}\\&+{\frac {m'm'''a'a'''}{8}}\ \left\{8(a'\ ,a''')+[a'\ ,a''']_{1}\left(e'^{2}\ +e'''^{2}\right)-2[a'\ ,a''']_{2}e'\,e'''\cos(\chi '-\chi ''')\right\}\\&+{\frac {m''m'''a''a'''}{8}}\left\{8(a'',a''')+[a'',a''']_{1}\left(e''^{2}+e'''^{2}\right)-2[a'',a''']_{2}e''e'''\cos(\chi ''-\chi ''')\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en faisant toutes les combinaisons deux à deux des masses $\mathrm {m',m''} ,$