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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Dans cette équation, les quantités ${\frac {d\chi '}{dt}},\,{\frac {d\chi ''}{dt}},\ldots$ expriment les vitesses angulaires des mouvements des aphélies, et par conséquent elle donne une relation invariable entre ces vitesses, par laquelle on voit qu’elles ont aussi nécessairement des limites, tant qu’elles sont toutes de même signe.

103. Si l’on emploie les transformations de l’article 78, en faisant

$m'=e'\sin \chi ',\quad n'=e'\cos \chi ',\quad m''=e''\sin \chi '',\quad n''=e''\cos \chi '',\quad \ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {\mathrm {m'm''} a'a''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a',a'']_{1}\ \left(m'^{2}\ +n'^{2}\ +m''^{2}\ +n''^{2}\ \right)-2[a',a''\ ]_{2}(m'm''+n'n'')\right\}\\&+{\frac {\mathrm {m'm'''} a'a'''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a',a''']_{1}\,\left(m'^{2}\ +n'^{2}+m'''^{2}\ +n'''^{2}\right)-2[a',a''']_{2}(m'm'''+n'n''')\right\}\\&+{\frac {\mathrm {m''m'''} a''a'''}{8}}\\&\quad \times \left\{[a'',a''']_{1}\left(m''^{2}+n''^{2}+m'''^{2}+n'''^{2}\right)-2[a'',a''']_{2}(m''m'''+n''n''')\right\}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et les équations des variations seront

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {m} '\ {\frac {d\mathrm {m} '}{dt}}\ =&{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} '\ a'\ }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial n'}},\qquad &\mathrm {m} '\ {\frac {dn'}{dt}}\ =&-{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} '\ a'\ }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}},\\\mathrm {m} ''{\frac {d\mathrm {m} ''}{dt}}=&{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial n''}},&\mathrm {m} ''{\frac {dn''}{dt}}=&-{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m''}},\\.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{alignedat}}$

Si, dans ces équations, on substitue la valeur de $\Phi ,$ et qu’on exécute les différentiations partielles, on a des équations linéaires en $m',\,n',\,m'',\,n'',\ldots ,$ faciles à intégrer, et ces équations seront entièrement identiques avec celles que j’avais trouvées par une autre voie, dans les Mémoires de Berlin de 1781, page 262^[1], comme il est facile de s’en assurer en comparant entre elles les dénominations différentes des mêmes quantités.

1. Œuvres de Lagrange, t. V, p. 125. G. D.