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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

ticle précédent, on aura, en intégrant relativement à $t,$ l’équation finie

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}e'^{2}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}e''^{2}+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}e'''^{2}+\ldots =\mathrm {K} ^{2},$

$\mathrm {K} ^{2}$ étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant quelconque.

Cette équation fait voir que les excentricités $e',\,e'',\,e''',\ldots$ ont nécessairement des limites qu’elles ne peuvent passer ; car, comme elles sont nécessairement réelles, tant que les orbites sont des sections coniques, chaque terme, comme $\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}e'^{2}$ sera toujours positif, et son maximum sera la constante $\mathrm {K} ^{2}.$

Il suit de là que, si les excentricités des orbites qui appartiennent à des masses très grandes sont une fois très petites, elles le seront toujours, ce qui est le cas de Jupiter et Saturne ; mais celles qui appartiennent à des masses fort petites pourront croître jusqu’à l’unité et au delà, et l’on ne pourra déterminer leurs véritables limites que par l’intégration des équations différentielles, comme on le verra ci-après^[1].

De plus, comme la quantité $\Phi ,$ regardée comme fonction de $e',\,e'',\,e''',\ldots ,$ est une fonction homogène de deux dimensions, on aura, par la propriété connue de ces fonctions,

${\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}e'+{\frac {\partial \Phi }{\partial e''}}e''+{\frac {\partial \Phi }{\partial e'''}}e'''+\ldots =2\Phi .$

Substituant dans cette équation les valeurs des différences partielles de $\Phi$ relatives à $e',\,e'',\,e''',\ldots$ tirées des mêmes équations de l’article précédent, on aura

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}{\frac {e'^{2}d\chi '}{dt}}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}{\frac {e''^{2}d\chi ''}{dt}}+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}{\frac {e'''^{2}d\chi '''}{dt}}+\ldots =2\mathrm {F} ,$

$\mathrm {F}$ étant la valeur de $\Phi$ dans un instant quelconque.

1. Voir à ce sujet un Mémoire de Laplace, Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1784, le n^o 57 du second Livre de la Mécanique céleste, et le Chapitre II du livre XV (cinquième Volume) où Laplace reproche à Lagrange d’avoir énoncé sous une forme dubitative un théorème démontré par lui depuis longtemps. (J. Bertrand.)