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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

qui sont déterminées en général par la formule

$\cos \mathrm {I} _{m}^{n}=\cos i^{(m)}\cos i^{(n)}+\cos \left(h^{(m)}-h^{(n)}\right)\sin i^{(m)}\sin i^{(n)},$

on aura, en substituant ${\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}},{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h'}},\ldots$ à la place de ${\frac {\partial (\Omega )_{2}}{\partial i'}},$ ${\frac {\partial (\Omega )_{2}}{\partial h'}},\ldots ,$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {di'}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h'}},&{\frac {dh'}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin i'}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}},\\{\frac {di''}{dt}}=&-{\frac {1}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial \Psi }{\partial h''}},\qquad &{\frac {dh''}{dt}}=&{\frac {1}{\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin i''}}{\frac {\partial \Psi }{\partial i''}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ces équations donnent aussi

${\frac {\partial \Psi }{\partial h'}}dh'+{\frac {\partial \Psi }{\partial i'}}di'=0,\quad {\frac {\partial \Psi }{\partial h''}}dh''+{\frac {\partial \Psi }{\partial i''}}di''=0,$

et, par conséquent, puisque $\Psi$ est une fonction de $h',\,i',\,h'',\,i'',\ldots$ sans aucune autre variable,

$d\Psi =0,$

et $\Psi$ égal à une constante.

De plus, il est visible, par la forme de la fonction $\Psi ,$ que l’on a cette équation

${\frac {\partial \Psi }{\partial h'}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial h''}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial h'''}}+\ldots =0.$

Substituant, pour les différentielles de $\Psi$ relatives à $h',\,h'',\,h''',\ldots$ leurs valeurs données par les équations précédentes, on aura une équation différentielle en $i',\,i'',\,i''',\ldots ,$ dont l’intégrale sera

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\cos i'+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\cos i''+\mathrm {m} '''{\sqrt {\mathrm {g} '''a'''}}\cos i'''+\ldots =\mathrm {const} .,$

et qu’on pourra mettre aussi sous la forme

$\mathrm {m} '{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}\sin ^{2}{\frac {i'}{2}}+\mathrm {m} ''{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}\sin ^{2}{\frac {i''}{2}}+\ldots =\mathrm {H} ^{2},$

$\mathrm {H} ^{2}$ étant la valeur du premier membre dans un instant quelconque. On peut tirer de cette équation, relativement aux liniités des quantités