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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

et de là

$y={\frac {\mathrm {B} x+a}{\mathrm {C} }},\qquad z={\frac {\mathrm {A} x+b}{\mathrm {C} }}.$

Substituant ces valeurs dans l’expression de $u,$ la variable $x$ montera au troisième degré sous le radical, et l’équation $dx=-\mathrm {C} udt$ donnera

$dt=-{\frac {dx}{\mathrm {C} u}},$

équation où les variables sont séparées, mais dont le second membre ne sera intégrable que par la rectification des sections coniques.

Mais, comme les inclinaisons mutuelles des orbites doivent être supposées très petites, si l’on fait

$x=1-\xi ,\qquad y=-1+\eta ,\qquad z=1-\zeta ,$

ce qui donne

$\xi ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{'}}^{''2},\qquad \eta ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{'}}^{'''2},\qquad \zeta ={\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{_{''}}^{'''2},$

les quantités $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ devront être très petites, et l’on pourra négliger, dans l’expression de $u,$ leurs troisièmes dimensions vis-à-vis des secondes. On aura ainsi

$u^{2}=2(\zeta \eta +\xi \zeta +\eta \xi )-\xi ^{2}-\eta ^{2}-\zeta ^{2}$

et

$d\xi =\mathrm {C} udt,\qquad d\eta =-\mathrm {B} udt,\qquad d\zeta =\mathrm {A} udt.$

Si l’on différentie cette valeur de $u^{2}$ et qu’après la substitution des valeurs de $d\xi ,\,d\eta ,\,d\zeta ,$ on divise l’équation par $udt,$ qu’ensuite on la redifférentie et qu’on y fasse encore les mêmes substitutions, on aura, $dt$ étant constant,

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=\mathrm {\left[2(AC-AB-BC)-A^{2}-B^{2}-C^{2}\right]} u,$

équation intégrable par des exponentielles ou des sinus, suivant que le coefficient de $u$ sera positif ou négatif ; mais, comme

$u=\sin \alpha \sin \beta \sin c,$

il est évident que la valeur de $u$ en $t$ ne peut pas contenir d’exponentielles désignant donc par $-\mu ^{2}$ le coefficient de $u$ dans l’équation