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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

que les inclinaisons $i',\,i'',\ldots$ des orbites sur le plan fixe soient très petites, comme on l’a vu jusqu’ici dans toutes les formules que l’on a données pour le mouvement des nœuds et les variations des inclinaisons, mais elles supposent seulement la petitesse des inclinaisons mutuelles des orbites.

Quant à leur intégration, elle paraît très difficile en général, et il n’y a peut-être que le cas de deux orbites où elle réussisse.

Faisons dans ce cas, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}=&\mathrm {M} ,\qquad &{\frac {\mathrm {m} 'a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}=&\mathrm {N} ,\\{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}=&x,&{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}=&y\,;\end{alignedat}}$

on aura les équations

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}\ =&-\mathrm {M} (q'y-q''x),\qquad &{\frac {dq'}{dt}}\ =&\mathrm {M} (p'y-p''x),\\{\frac {dp''}{dt}}=&-\mathrm {N} (q''x-q'y),&{\frac {dq''}{dt}}=&\mathrm {N} (p''x-p'y).\end{alignedat}}$

Elles donnent d’abord

$\mathrm {N} {\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dp''}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} {\frac {dq'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dq''}{dt}}=0\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {N} p'+\mathrm {M} p''=b,\quad \mathrm {N} q'+\mathrm {M} q''=c,$

$b$ et $c$ étant des constantes.

Maintenant, si l’on différentie l’équation $x^{2}=1-p'^{2}-q'^{2},$ et qu’on y substitue les valeurs de $dp',\,dq',$ on a, après la division par $xdt,$

${\frac {dx}{dt}}=-\mathrm {M} (p'q''-q'p'')\,;$

on trouve de même

${\frac {dy}{dt}}=-\mathrm {N} (q'p''-p'q''),$

et, de là,

$\mathrm {N} {\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} x+\mathrm {M} y=f,$

$f$ étant une constante.