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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
que les inclinaisons
des orbites sur le plan fixe soient très petites, comme on l’a vu jusqu’ici dans toutes les formules que l’on a données pour le mouvement des nœuds et les variations des inclinaisons, mais elles supposent seulement la petitesse des inclinaisons mutuelles des orbites.
Quant à leur intégration, elle paraît très difficile en général, et il n’y a peut-être que le cas de deux orbites où elle réussisse.
Faisons dans ce cas, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {m} ''a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}}=&\mathrm {M} ,\qquad &{\frac {\mathrm {m} 'a'a''[a',a'']_{1}}{4{\sqrt {\mathrm {g} ''a''}}}}=&\mathrm {N} ,\\{\sqrt {1-p'^{2}-q'^{2}}}=&x,&{\sqrt {1-p''^{2}-q''^{2}}}=&y\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2639d66eb8095a6647da0d948fea2d8a9e865d)
on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {dp'}{dt}}\ =&-\mathrm {M} (q'y-q''x),\qquad &{\frac {dq'}{dt}}\ =&\mathrm {M} (p'y-p''x),\\{\frac {dp''}{dt}}=&-\mathrm {N} (q''x-q'y),&{\frac {dq''}{dt}}=&\mathrm {N} (p''x-p'y).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd56b02e90dc6fef965b7a1d3f6196b4fdf604e)
Elles donnent d’abord
![{\displaystyle \mathrm {N} {\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dp''}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} {\frac {dq'}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dq''}{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c6204e6e65aa84692fc60fe2a35c7592db9694)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {N} p'+\mathrm {M} p''=b,\quad \mathrm {N} q'+\mathrm {M} q''=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ed50ca8748603800984b2979de30a34c6d24c1)
et
étant des constantes.
Maintenant, si l’on différentie l’équation
et qu’on y substitue les valeurs de
on a, après la division par
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\mathrm {M} (p'q''-q'p'')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b439ce4f84d410e0370fe5b75952f7c55e5c1e63)
on trouve de même
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-\mathrm {N} (q'p''-p'q''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac923e2e11cbc1a427e2583fdaba47d9750debf3)
et, de là,
![{\displaystyle \mathrm {N} {\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}=0,\quad \mathrm {N} x+\mathrm {M} y=f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677e32edff79abf123e479b01fb0478b3b74c910)
étant une constante.