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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Les intégrales que nous venons de trouver donnent

$\mathrm {M} p''=b-\mathrm {N} p',\quad \mathrm {M} q''=b-\mathrm {N} q',\quad \mathrm {M} y=f-\mathrm {N} x,\,;$

ces valeurs étant substituées dans les trois équations

${\frac {dp'}{dt}}+\mathrm {M} (q'y-q''x)=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-\mathrm {M} (p'y-p''x)=0,$

${\frac {dx}{dt}}+\mathrm {M} (p'q''-q'p'')=0,$

on obtient les équations suivantes

${\frac {dp'}{dt}}+fq'-cx=0,\quad {\frac {dq'}{dt}}-fp'+bx=0,$

${\frac {dx}{dt}}+cp'-bq'=0,$

qui, étant linéaires et à coefficients constants, sont toujours intégrables.

On aura de pareilles équations en changeant $p',\,q',\,x$ en $p'',\,q'',\,y\,;$ mais, lorsqu’on connaîtra les trois premières de ces quantités, on aura les trois dernières par les trois intégrales précédentes.

Les expressions de $p',\,q',\,x$ en $t$ contiendront trois constantes arbitraires, et, comme les constantes $b,\,c,\,f$ sont aussi arbitraires, on aura en tout six constantes arbitraires, mais qui se réduiront à quatre, pour satisfaire aux équations supposées

$p'^{2}+q'^{2}+x^{2}=1,\quad p''^{2}+q''^{2}+y^{2}=1\,;$

on aura ainsi les valeurs complètes des quatre variables $p',\,q',\,p'',\,q'',$ qui donnent la position des deux orbites dans l’espace.

Mais notre analyse est fondée sur la supposition que l’inclinaison mutuelle des deux orbites soit très petite ; le cosinus de cette inclinaison est exprimé par la formule (art. 107)

$xy+p'p''+q'q'',$

dont la différentielle devient égale à zéro, d’après les équations différentielles ci-dessus ; cette quantité sera donc égale à une constante,