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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

et 104, ${\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}},\ {\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}$ à la place de ${\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial a'}},{\frac {\partial (\Omega ')_{1}}{\partial e'}},$ et ${\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}$ à la place de ${\frac {\partial (\Omega ')_{2}}{\partial a'}},$ ce qui donnera

$d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{g'}}}\left({\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}}+{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\right)dt+{\frac {e'}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial e'}}dt,$

les fonctions $\Phi$ et $\Psi$ étant données dans les mêmes articles et étant les mêmes pour toutes les planètes.

Mais si, à la place de ces fonctions exprimées en $e',\,\rho ',\,i',\,h',\,e'',\ldots ,$ on veut employer les expressions des articles 103, 107, en $m',\,n',\,p',\,m'',\ldots$ il faudra, suivant les formules de l’article 73, changer $e'{\frac {\partial \Phi }{\partial e}}$ en $m'{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}}+n'{\frac {\partial \Phi }{\partial n'}}.$ On aura ainsi

$d\lambda '=-2{\sqrt {\frac {a'}{\mathrm {g} '}}}\left({\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial a'}}+{\frac {1}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\right)dt+{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {g} 'a'}}}\left({\frac {m'}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Phi }{\partial m'}}+{\frac {n'}{\mathrm {m} '}}{\frac {\partial \Psi }{\partial n'}}\right)dt\,;$

et, pour avoir $d\lambda '',\,d\lambda ''',\ldots ,$ il n’y aura qu’à changer $g',\,a',\,\mathrm {m} ',\,m',\,n'$ en $\mathrm {g} '',\,a'',\,\mathrm {m} '',\,m'',\,n'',\ldots .$

Dans ces formules, les différentielles relatives à $a'$ n’affectent que les coefficients $a'a''(a',a''),\,a'a''[a',a'']_{1},\,a'a''[a',a'']_{2},\ a'a'''(a',a'''),\ldots$ des fonctions $\Phi$ et $\Psi ,$ à la place desquels il suffira de substituer

$a'(a',a'')+a'a''{\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}},\quad a'[a',a'']_{1}+a'a''{\frac {\partial [a',a'']_{1}}{\partial a'}},\quad \ldots ,$

pour avoir les valeurs de ${\frac {\partial \Phi }{\partial a'}},\,{\frac {\partial \Psi }{\partial a'}}\,;$ et, par les formules de l’article 98, on trouvera les valeurs des différences partielles ${\frac {\partial (a',a'')}{\partial a'}},\,{\frac {\partial [a',a'']_{1}}{\partial a'}},\ldots .$

Il faudra ensuite y substituer les valeurs de $m',\,n',\,p',\,q',\,m'',\ldots$ en $t,$ trouvées par l’intégration des équations différentielles des articles 103 et 109, et que nous avons données, pour toutes les planètes, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin ; et, comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus, les variations $d\lambda ',\,d\lambda '',\ldots$ seront intégrables : les termes constants donneront, dans $\lambda ',\,\lambda '',\ldots ,$ des termes proportionnels à $t,$ qui se confondront avec les