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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
rayon
décrit dans le plan de l’orbite. Donc, si l’on désigne en général cet angle par
on aura
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dt}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce75e78dfb0b046b3beded1c7bc01ff486fd6bd1)
et, substituant la valeur de
en ![{\displaystyle dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53f31d23be1a40871998b6eafa0245b7511eca7)
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\mathrm {D} dr}{r^{2}{\sqrt {2\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-{\dfrac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ac53fbcca389a9f8855dea8169106ef37b0b3)
équation dont l’intégrale donnera la valeur de
en
et réciproquement celle de
en ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
Ensuite on aura
en
par l’équation
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {\cos ^{2}\psi d\varphi }{\cos i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3e7b9563ef99d1040454a1e4ebbc2f375ad615)
laquelle, en substituant pour
sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9097623607b8aa4fe0e5364a0f223edda40eaa0c)
trouvée plus haut, devient
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {d\varphi }{\cos i\left[1+\operatorname {tang} ^{2}i\sin ^{2}(\varphi -h)\right]}}={\frac {\cos id\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos ^{2}i+\operatorname {tang} ^{2}(\varphi -h)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7baa532d5e105c7a7d22236d8d335dab279b05fb)
d’où l’on tire par l’intégration
![{\displaystyle \Phi +k=\operatorname {arc\,\operatorname {tang} } {\frac {\operatorname {tang} (\varphi -h)}{\cos i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed88e6f218086b365f8d229463aeee354002b4e0)
étant une constante arbitraire ; et de là
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece6ee2958bb0bdf4640cfe40ff69f8dc0dbb3d1)
équation qui indique que
est l’hypoténuse du même triangle sphérique rectangle dont la base est
et l’angle adjacent
(art. 5), et dont le côté opposé à
est ![{\displaystyle \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c)
On voit par là que
est l’angle décrit par le rayon
dans le