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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

on aura, après les substitutions,

$\delta \operatorname {F} (\rho ')=\mathrm {\frac {m+\mu m'}{m}} \delta \operatorname {F} (r')+\mathrm {{\frac {m''}{m}}\delta (R'')+{\frac {m'''}{m}}\delta (R''')} +\ldots ,$

et telle sera la valeur de $\delta \int \mathrm {R} 'd\rho '$ dans la différence $\delta \mathrm {V} '$ (art. 116) ; de sorte qu’on aura, pour le premier terme $\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '$ de $\mathrm {V} ',$

$\mathrm {m} \int \mathrm {R} 'd\rho '=(\mathrm {m+\mu m'} )\operatorname {F} (r')+\mathrm {m''(R'')++m'''(R''')} +\ldots ,$

où

$\operatorname {F} (r')={\frac {r'^{\mu +1}}{\mu +1}}.$

Dans le système du monde, l’attraction des planètes est en raison inverse des carrés des distances ; on a ainsi

$\mu =-2,\quad \operatorname {F} (r')=-{\frac {1}{r'}},$

et l’on trouve

${\begin{aligned}&(\mathrm {R} '')\,={\frac {x'x''\,+y'y''\,+z'z''\,}{r'^{3}}}={\frac {r'^{2}+r''^{2}+\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}},\\&(\mathrm {R} ''')={\frac {x'x'''+y'y'''+z'z'''}{r'^{3}}}={\frac {r'^{2}+r'''^{2}+\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}},\\\end{aligned}}$

 

en faisant

$r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},\quad r'''={\sqrt {x'''^{2}+y'''^{2}+z'''^{2}}},\quad \ldots .$

Donc, si l’on fait ces substitutions dans la valeur de $\mathrm {V} '$ (art. 116), et qu’on y suppose aussi $\mathrm {R} ''_{_{'}}={\frac {1}{\rho _{_{'}}^{''2}}},\,\mathrm {R} '''_{_{'}}={\frac {1}{\rho _{_{'}}^{'''2}}},\ldots ,$ on aura, dans le cas de la nature, pour le mouvement du corps $\mathrm {m} '$ autour du centre commun de gravité,

$\mathrm {V} '=-{\frac {\mathrm {m-2m'} }{r'}}-\mathrm {m} ''\left({\frac {1}{\rho ''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}+r''^{2}-\rho _{_{'}}^{''2}}{2r'^{3}}}\right)-\mathrm {m} '''\left({\frac {1}{\rho '''_{_{'}}}}-{\frac {r'^{2}-r'''^{2}-\rho _{_{'}}^{'''2}}{2r'^{3}}}\right)-\ldots .$

Le premier terme de $\mathrm {V} ',$ s’il était seul, donnerait, comme on l’a vu dans le Chapitre I, une orbite elliptique dans laquelle $\mathrm {g=m-2m'} \,;$