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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

et les termes à ajouter à $\delta \mathrm {V}$ seront

$\Gamma ds{\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{dt^{2}}}.$

Donc, en retenant la signification de la lettre $\mathrm {T}$ de l’article 1 de la Section précédente, il n’y aura qu’à ajouter à $\delta \mathrm {V}$ les termes

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}\delta \xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}\delta \varphi +\ldots$

et changer ensuite $\mathrm {m,\,m',\,m''} ,\ldots$ en $\Gamma ds,\,\Gamma 'ds',\,\Gamma ''ds'',\ldots \,;$ car la résistance n’étant pas proportionnelle à la masse, mais seulement à la surface, il n’y aura qu’à exprimer par $\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma '',\ldots$ les résistances que les corps $\mathrm {m,\,m',\,m''} ,\ldots$ éprouveraient en se mouvant avec une vitesse égale à l’unité.

Ainsi l’équation de l’article 1 relative à $\xi$ deviendra

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}=0\,;$

mais l’équation des forces vives n’aura plus lieu dans ce cas.

3. Au lieu de réduire d’abord toutes les variables du problème à un petit nombre de variables indépendantes, par le moyen des équations de condition données par la nature du problème, on peut traiter immédiatement toutes les variables comme indépendantes, et si

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \ldots$

sont les équations de condition entre ces variables, il suffira d’ajouter à l’équation relative à chacune de ces variables des termes de la forme

$\lambda {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \xi }}+\mu {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \xi }}+\ldots .$

On aura ainsi, relativement à une variable quelconque $\xi ,$ l’équation

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}+\lambda {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \xi }}+\mu {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \xi }}+\ldots =0,$