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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

2. Si le mouvement se faisait dans un milieu résistant, nous avons vu, dans l’article 3 de la même Section, que la résistance $\mathrm {R}$ donnerait pour chaque corps $\mathrm {m}$ les termes

$\mathrm {R} {\frac {dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}{ds}},$

à ajouter à $\delta \mathrm {V} \,;$ ainsi il n’y aura qu’à réduire les différences $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ en différences relatives aux nouvelles variables indépendantes.

On peut donner à cette réduction une forme générale, par l’analyse de l’article 4 de la Section IV ; car, en nommant $\xi ,\,\psi ,\,\varphi$ les nouvelles variables, on a vu que la quantité $dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z$ se transforme en

$\mathrm {F} d\xi \,\delta \xi +\mathrm {G} (d\xi \,\delta \psi +d\psi \,\delta \xi )+\mathrm {H} d\psi \,\delta \psi +\mathrm {I} (d\xi \,\delta \varphi +d\varphi \,\delta \xi )+\ldots ,$

où l’on voit que le coefficient de $\delta \xi$ est

$\mathrm {F} d\xi +\mathrm {G} d\psi +\mathrm {I} d\varphi .$

Si l’on change le $\delta$ en $d,$ alors la transformée de $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ devient

$\mathrm {F} d\xi ^{2}+2\mathrm {G} d\xi \,d\psi +\mathrm {H} d\psi ^{2}+2\mathrm {I} d\xi \,d\varphi +\ldots ,$

et si l’on désigne cette transformée par $\Phi ,$ il est clair que l’on a

$\mathrm {F} d\xi +\mathrm {G} d\psi +\mathrm {I} d\varphi ={\frac {\delta \Phi }{2\delta d\xi }}.$

Il suit de là qu’on aura, en général,

$dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z={\frac {\delta \Phi }{2\delta \,d\xi }}\delta \xi +{\frac {\delta \Phi }{2\delta \,d\psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \Phi }{2\delta \,d\varphi }}\delta \varphi .$

La résistance des fluides étant, en général, proportionnelle au carré de la vitesse ${\frac {ds}{dt}}$ ($s$ étant l’espace parcouru par le corps), si l’on désigne par la densité du fluide, on aura

$\mathrm {R} =\Gamma {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}},$