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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

tielles relatives à ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots ,$

$\Xi ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\xi }}}},\quad \Psi ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\psi }}}},\quad \Phi ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\varphi }}}},\quad \ldots ,$

et les équations pour déterminer ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots$ seront

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi }}={\frac {\delta \Omega }{\delta \xi }},\quad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \psi }},\quad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \varphi }},\quad \ldots ,$

où l’on remarquera que ces inconnues n’y seront qu’au premier degré, puisqu’elles ne peuvent être qu’au second degré dans la quantité $\mathrm {T} .$

Ainsi l’effet des impulsions instantanées et finies $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ consistera à augmenter les différentielles ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\ldots$ des quantités, ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots ,$ dans les expressions des constantes arbitraires du problème.

6. Pour appliquer cette théorie au cas des impulsions très petites et continuelles, on changera $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ en $\mathrm {P} dt,\,\mathrm {Q} dt,\,\mathrm {R} dt\ldots ,$ ce qui changera $\delta \Omega$ en $\delta \Omega dt,$ et les quantités ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots$ deviendront très petites du premier ordre ; les constantes arbitraires deviendront continuellement variables, et les quantités ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots$ seront les variations de ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\ldots$ dans les expressions de ces constantes ; de sorte que, $a$ étant une des constantes devenues variables, on aura, en faisant ${\frac {d\xi }{dt}}=\xi ',\,{\frac {d\psi }{dt}}=\psi ',\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\varphi ',\ldots ,$

$da={\frac {\partial a}{\partial \xi '}}{\dot {\xi }}+{\frac {\partial a}{\partial \psi '}}{\dot {\psi }}+{\frac {\partial a}{\partial \varphi '}}{\dot {\varphi }}+\ldots ,$

les variables finies $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ ne recevant aucun changement ; et il n’y aura plus qu’à substituer pour ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots$ leurs valeurs tirées des équations données ci-dessus ; mais, dans le cas présent, ces équations peuvent être mises sous une forme plus simple, par la considération suivante.

En regardant les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ ainsi que les différentielles $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\ldots ,$ comme fonctions des constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots$ et