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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
trois équations intégrables et dont les intégrales sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C} ,\\{\frac {zdx-xdz}{dt}}=\mathrm {B} ,\\{\frac {ydz-zdy}{dt}}=\mathrm {A} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095c3a1bca9aafde2cc8b2e4b47762ae24d59b8c)
étant des constantes arbitraires dont la première est la même que celle de l’équation
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi }{dt}}=\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87e4de0e21c454a227eb8f7ee19a5729ca07c11)
de l’article 5, parce qu’en effet celle-ci n’est qu’une transformée de l’équation
![{\displaystyle {\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07313bf471bc506093cc3211de0c704345a832e)
par la substitution des valeurs de
de l’article 4.
Ces trois intégrales répondent à celles que nous avons données pour un système de corps, dans l’article 9 de la Section III, d’où nous aurions pu les emprunter.
10. En ajoutant ensemble les carrés des trois dernières équations et employant cette réduction connue
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(xdy-ydx)^{2}+(zdx-xdz)^{2}+(ydz-zdy)^{2}\\&\quad =\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(xdx+ydy+zdz)^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247cedce6ba03fc7a135e3868e4f4b3296aba53b)
on a l’équation
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2bb77da8c2856ab21bc8f6a5123f837907d6da)
laquelle, en y substituant pour
sa valeur tirée de la première intégrale, et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576f24a98e054dd8abccece259302d103bd888cf)