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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

13. Mais, dans la solution de ces problèmes, il est souvent plus simple de regarder toutes les coordonnées comme des variables indépendantes et d’employer les équations de la surface ou de la ligne donnée comme des équations de condition qui, étant représentées par

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,$

donneront simplement, pour chaque variable, les termes $\lambda \delta \mathrm {L} ,\,\mu \delta \mathrm {M}$ à ajouter à $\delta \mathrm {V} ,$ les coefficients $\lambda ,\mu$ étant indéterminés et devant être éliminés.

Or, de ce que nous avons démontré dans l’article 5 de la Section IV de la I^re Partie, il s’ensuit que chaque terme, comme $\lambda \delta \mathrm {L} ,$ peut représenter le moment d’une force égale à

$\lambda {\sqrt {{\frac {\partial \mathrm {L} ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {L} ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {L} ^{2}}{\partial z^{2}}}}}$

et agissant perpendiculairement à la surface dont l’équation est $d\mathrm {L} =0\,;$ par conséquent, cette force ne pourra être que celle qui vient de la résistance que la surface oppose au corps, et qui est égale à la pression que le corps exerce sur la surface.

Ainsi le coefficient $\lambda$ servira à déterminer la pression du corps sur la surface donnée par l’équation $\mathrm {L} =0\,;$ et si le corps est mû sur une ligne donnée, en la regardant comme produite par l’intersection de deux surfaces représentées par les équations $\mathrm {L} =0,\,\mathrm {M} =0,$ les deux coefficients $\lambda$ et $\mu$ serviront à déterminer les pressions que le corps exerce sur cette ligne, perpendiculairement aux deux surfaces.

14. En général, on peut assimiler le terme $\lambda \delta \mathrm {L}$ au terme $\delta \mathrm {V} \,;$ et comme

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {R} \delta r+\mathrm {Q} \delta q+\ldots ,$

$\mathrm {R,\,Q} ,\ldots$ étant les forces qui agissent suivant les lignes $\mathrm {r,\,q} ,\ldots ,$ et qui tendent à les raccourcir ; si $\mathrm {L}$ est fonction des coordonnées $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ on aura

$\delta \mathrm {L={\frac {\partial L}{\partial \xi }}\delta \xi +{\frac {\partial L}{\partial \psi }}\delta \psi +{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}\delta \varphi } ,$