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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

que les méthodes ordinaires ne donneraient qu’à l’aide de plusieurs réductions.

12. Il est bon de remarquer que l’équation

$\mathrm {T+V=H} ,$

qui a toujours lieu lorsque le corps n’est animé que par des forces proportionnelles à des fonctions de leurs distances aux centres, donne tout de suite la vitesse du corps dans un point quelconque de la courbe qu’il décrit ; car, $u$ étant la vitesse et $s$ l’espace décrit, on a

$u={\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}{dt}}\,;$

donc

$\mathrm {T} ={\frac {u^{2}}{2}},$

et par conséquent

$u=\mathrm {\sqrt {2(H-V)}} \,;$

de sorte que, $\mathrm {V}$ étant une fonction finie de scoordonnées, la vitesse ne dépendra que de la position du corps dans l’espace.

Si le corps n’est animé par aucune force accélératrice, on a $\mathrm {V} =0,$ et la vitesse devient constante. Dans ce cas, comme nous avons démontré en général que la formule $\int uds$ est toujours un maximum ou un minimum dans des limites données (Sect. III, art. 39), la quantité $\int ds,$ ou $s,$ c’est-à-dire la longueur de la courbe décrite par le corps, sera elle-même un maximum ou un minimum ; et il est évident qu’elle ne peut être qu’un minimum^[1], parce que le maximum n’a point lieu. D’où résulte le théorème connu, qu’un corps projeté sur une surface quelconque y décrit toujours la ligne la plus courte entre des points donnés.

1. Cette manière de raisonner n’est pas admissible, car on doit aussi considérer le cas où il n’y aurait ni maximum ni minimum. On peut démontrer directement qu’entre deux points infiniment voisins il y a toujours minimum. Voir une Note à la fin du Volume. (J. Bertrand.)