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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.
elle devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} ^{2}\cos \psi }{\sin \psi ^{3}}}+{\frac {\mathrm {g} }{r}}\sin \psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da8f1212e159154508e96bc308eb67f42d4619d)
dont l’intégrale, après l’avoir multipliée par
est
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{\sin ^{2}\psi }}-2{\frac {\mathrm {g} }{r}}\cos \psi =\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90577059889644b88c5ad27d9e749f95c20813cb)
et
étant deux constantes qui dépendent de l’état initial.
Cette dernière intégrale donne tout de suite
![{\displaystyle dt={\frac {\sin \psi d\psi }{\sqrt {\left(\mathrm {E} +2{\cfrac {\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a947579f228b422b29e797eb35598b2f880d54)
et, comme on a par la première
on aura
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {\mathrm {C} d\psi }{\sin \psi {\sqrt {\left(\mathrm {E} +{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad888347c6e6fb8b49f52054859d652d676403ee)
équations séparées, mais dont les seconds membres ne sont intégrables que par la rectification des sections coniques.
L’équation en
et
donnera le temps que le pendule emploie à parcourir verticalement l’angle
et l’équation en
et
donnera la courbe décrite par le corps qui forme le pendule, laquelle sera une espèce de spirale sphérique. Si l’on fait
on aura une équation qui sera celle de la projection de cette spirale sur le plan horizontal, entre le rayon vecteur
et l’angle
décrit par ce rayon autour de la verticale.
16. Si l’on égale à zéro la quantité sous le signe, on a l’équation
![{\displaystyle \left(\mathrm {E} +{\cfrac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi \right)\sin ^{2}\psi -\mathrm {C} ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f9da55c79ccb4423002b5bae2027da2f5cf81a)
laquelle donnera les plus grandes et les plus petites valeurs de l’angle d’inclinaison
Cette équation, à cause de
est du