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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

troisième degré relativement à l’inconnue $\cos \psi \,;$ elle aura donc une racine réelle ; mais il est facile de voir, par la nature du problème, qu’il ne peut y avoir un maximum de $\psi ,$ sans qu’il y ait en même temps un minimum, et vice versa ; d’où il suit que les trois racines seront nécessairement réelles^[1], dont deux donneront un maximum et la troisième un minimum.

Désignons par $\alpha$ et $\beta$ la plus grande et la plus petite valeur de $\psi ,$ on aura les deux équations

{\begin{aligned}\left(\mathrm {E} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \alpha \right)\sin ^{2}\alpha -\mathrm {C} ^{2}=&0,\\\left(\mathrm {E} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \beta \right)\sin ^{2}\beta -\mathrm {C} ^{2}=&0,\end{aligned}}

lesquelles donnent

{\begin{aligned}\mathrm {E} \ =&{\frac {2\mathrm {g} \left(\cos \alpha \sin ^{2}\alpha -\cos \beta \sin ^{2}\beta \right)}{r\left(\sin ^{2}\beta -\sin ^{2}\alpha \right)}},\\\mathrm {C} ^{2}=&{\frac {2\mathrm {g} \sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta (\cos \alpha -cos\beta )}{r\left(\sin ^{2}\beta -\sin ^{2}\alpha \right)}},\end{aligned}}

expressions qui se réduisent à celles-ci, plus simples,

{\begin{aligned}\mathrm {E} \ =&{\frac {2\mathrm {g} \left(1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos \alpha \cos \beta \right)}{r(\cos \alpha +\cos \beta )}},\\\mathrm {C} ^{2}=&{\frac {2\mathrm {g} \sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta }{r(\cos \alpha +\cos \beta )}},\end{aligned}}

On substituera ces valeurs dans l’équation en $\cos \psi ,$ laquelle, en changeant les signes, est de la forme

{\frac {2\mathrm {g} }{r}}\cos ^{3}\psi +\mathrm {E} \cos ^{2}\psi -{\frac {2\mathrm {g} }{r}}\cos \psi +\mathrm {C} ^{2}-\mathrm {E} =0\,;

et, par la nature des équations, son premier membre deviendra

{\frac {2\mathrm {g} }{r}}(\cos \psi -\cos \alpha )(\cos \psi -\cos \beta )\left(\cos \psi +\cos \alpha +\cos \beta +{\frac {\mathrm {E} r}{2\mathrm {g} }}\right)\,;

↑ Cette assertion est inexacte ; le polynôme en $\cos \psi$ ne doit jamais changer de signe, et, par conséquent, $\cos \psi$ doit toujours être compris entre les deux mêmes racines. Il en résulte qu’à l’une des racines ne correspond ni maximum ni minimum. (J. Bertrand.)

[1] Cette assertion est inexacte ; le polynôme en $\cos \psi$ ne doit jamais changer de signe, et, par conséquent, $\cos \psi$ doit toujours être compris entre les deux mêmes racines. Il en résulte qu’à l’une des racines ne correspond ni maximum ni minimum. (J. Bertrand.)

[1]