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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

19. On peut avoir de la même manière l’angle $\varphi$ correspondant ; pour cela, on fera

${\begin{aligned}{\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2+\cos \alpha +\cos \beta }}=&\sin 2\mu ,\\{\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2-\cos \alpha -\cos \beta }}=&\sin 2\nu ,\end{aligned}}$

et l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{1+\cos \psi }}=&{\frac {2}{(2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \left(1+\operatorname {tang} ^{2}\mu +2\operatorname {tang} \mu \cos 2\sigma \right)}},\\{\frac {1}{1-\cos \psi }}=&{\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \left(1+\operatorname {tang} ^{2}\nu -2\operatorname {tang} \nu \cos 2\sigma \right)}}.\end{aligned}}$

Si, dans les mêmes formules de l’article 98 (Sect. VII), on fait $n=1,$ on a

$n'=1,\quad n''=1,\qquad \ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}&\left(1+\operatorname {tang} ^{2}\mu +2\operatorname {tang} \mu \cos 2\sigma \right)^{-1}\\&\quad =\mathrm {(A)+(B)\cos 2\sigma +(C)\cos 4\sigma +(D)\cos 6\sigma } +\ldots ,\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&1+\operatorname {tang} ^{2}\mu +\operatorname {tang} ^{4}\mu +\operatorname {tang} ^{6}\mu +\ldots ={\frac {1}{1-\operatorname {tang} ^{2}\mu }},\\(\mathrm {B} )=&-2\operatorname {tang} \mu \left(1+\operatorname {tang} ^{2}\mu +\operatorname {tang} ^{4}\mu +\ldots \right)=-{\frac {2\operatorname {tang} \mu }{1-\operatorname {tang} ^{2}\mu }},\\(\mathrm {C} )=&2\operatorname {tang} ^{2}\mu \left(1+\operatorname {tang} ^{2}\mu +\operatorname {tang} ^{4}\mu +\ldots \right)={\frac {2\operatorname {tang} ^{2}\mu }{1-\operatorname {tang} ^{2}\mu }},\end{aligned}}$

 

Ainsi l’on aura

$\left(1+\operatorname {tang} ^{2}\mu +2\operatorname {tang} \mu \cos 2\sigma \right)^{-1}$

$={\frac {1}{1-\operatorname {tang} ^{2}\mu }}\left(1-2\operatorname {tang} \mu \cos 2\sigma +2\operatorname {tang} ^{2}\mu \cos 4\sigma -2\operatorname {tang} ^{3}\mu \cos 6\sigma +\ldots \right).$

Si l’on multiplie cette série par la suivante

$\mathrm {A+B\cos 2\sigma +C\cos 4\sigma } +\ldots ,$

le produit sera de nouveau de la forme

$\mathrm {A'+B'\cos 2\sigma +C'\cos 4\sigma } +\ldots ,$