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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

peut se réduire en une série de la forme

$\mathrm {A+B\cos 2\sigma +C\cos 4\sigma +D\cos 6\sigma } +\ldots ,$

dans laquelle on aura, en faisant, dans les dernières formules de l’article 98 de la Section précédente,

$\varphi =2\sigma ,\quad a'=1,\quad a''=-\operatorname {tang} \gamma ,\quad n={\frac {1}{2}},\quad n'={\frac {1.3}{2.4}},\quad n''={\frac {1.3.5}{2.4.6}},\quad \ldots ,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+n^{2}\operatorname {tang} ^{2}\gamma +n'^{2}\operatorname {tang} ^{4}\gamma +n''^{2}\operatorname {tang} ^{6}\gamma +\ldots ,\\\mathrm {B} =&-2\left(n\operatorname {tang} \gamma +nn'\operatorname {tang} ^{3}\gamma +nn''\operatorname {tang} ^{5}\gamma +\ldots \right),\\\mathrm {C} =&2\left(n'\operatorname {tang} ^{2}\gamma +nn''\operatorname {tang} ^{4}\gamma +n''n'''\operatorname {tang} ^{6}\gamma +\ldots \right),\\\end{aligned}}$

 

On aura donc, en substituant,

$dt={\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}{\frac {2\varkappa }{\cos \gamma }}(\mathrm {A+B\cos 2\sigma +C\cos 4\sigma +\ldots } )d\sigma ,$

et, en intégrant de manière que l’intégrale commence où $\sigma =0,$

$t={\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}{\frac {2\varkappa }{\cos \gamma }}\left(\mathrm {A\sigma +{\frac {1}{2}}B\sin 2\sigma +{\frac {1}{4}}C\sin 4\sigma +\ldots } \right).$

En faisant $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ on aura le temps depuis le point le plus haut jusqu’au point le plus bas, lequel étant nommé $\mathrm {T} ,$ on aura

$\mathrm {T} =\mathrm {A} \pi {\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}{\frac {\varkappa }{\cos \gamma }}.$

Si l’on dénote par $\mathrm {T',T} '',\ldots$ les valeurs de $t$ qui répondent à

$\sigma ={\frac {3\pi }{2}},\qquad {\frac {5\pi }{2}},\qquad \ldots ,$

on aura

$\mathrm {T'=3T,\qquad T''=5T} ,\qquad \ldots \,;$

d’où l’on voit que le pendule remontera toujours à la même hauteur au bout d’un temps égal à $2\mathrm {T} ,$ qui sera par conséquent en temps la durée d’une oscillation.