Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/200

192

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Ainsi l’angle compris entre deux sommets consécutifs et répondant à une oscillation entière du pendule sera égal à $2\Phi .$

20. En supposant les angles $\alpha$ et $\beta$ très petits du premier ordre, la quantité $\cos \beta -\cos \alpha$ sera très petite du second, par conséquent l’angle $\gamma$ sera aussi très petit du second ordre ; donc, en ne négligeant que les quantités très petites du quatrième ordre, on aura

$\mathrm {A} =1,\qquad \cos \gamma =1\,;$

donc

$\mathrm {T} =\pi {\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}{\sqrt {\frac {\cos \alpha +\cos \beta }{2+4\cos \alpha \cos \beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}},$

et $2\mathrm {T}$ sera, aux quantités du quatrième ordre près, le temps de l’oscillation entière.

Si l’on néglige les quantités du second ordre, cette valeur de $2\mathrm {T}$ se réduit à $\pi {\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}\,;$ c’est l’expression connue pour la durée des oscillations très petites d’un pendule dont la longueur est $r,$ et où l’on peut faire $g=1\,;$ mais l’analyse précédente fait voir que cette durée est la même quelles que soient les oscillations, soit qu’elles se fassent dans un plan vertical, soit que le pendule ait en même temps un mouvement de rotation autour de la verticale.

En conservant les quantités du second ordre, on peut simplifier la formule précédente, en mettant pour $\cos \alpha$ et $\cos \beta$ leurs valeurs approchées, au quatrième ordre près, $1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}},\,1-{\frac {\beta ^{2}}{2}}\,;$ et, en négligeant toujours les termes du quatrième ordre, on aura pour la durée des oscillations très petites, au quatrième ordre près, l’expression

${\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {\frac {r}{\mathrm {g} }}}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{16}}\right).$

21. Lorsque l’angle $\beta ,$ qui répond au point le plus bas, est nul, le pendule reprend toujours la situation verticale, et les oscillations se font dans le plan vertical ; car, en faisant $\beta =0,$ on voit, par la formule de l’article 17, que l’angle $\varphi$ est nul : c’est le cas que l’on considère