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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

ordinairement, et qui a lieu toutes les fois qu’après avoir éloigné le pendule de la verticale par l’angle $\alpha ,$ on le laisse retomber sans lui donner aucune impulsion ; mais, pour peu que le pendule reçoive une impulsion dans une direction qui ne rencontre pas la verticale, il fera des oscillations en forme de mouvement conique, et l’angle $\beta$ ne sera pas nul.

Dans ce cas, si l’on suppose aussi que les angles $\alpha$ et $\beta$ soient très petits, et qu’on néglige dans une première approximation les quantités très petites du second ordre, on aura

\varkappa ={\frac {1}{2}},\qquad \gamma =0,\qquad \mathrm {A=1,\qquad B=0,\qquad C} =0,\qquad \ldots ,

\mu =0,\quad \sin 2\nu ={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},\quad \mathrm {A} '=1,\quad \mathrm {A} ''={\frac {1}{1+\operatorname {tang} ^{2}\nu }}=\cos ^{2}\nu \,;

donc

\Phi ={\frac {\pi \alpha \beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},

^[1]

et $2\Phi$ sera l’angle à la verticale compris entre deux sommets consécutifs de la courbe. Donc, si le rapport de $\alpha \beta$ à $\alpha ^{2}+\beta ^{2}$ est rationnel, l’angle $2\Phi$ aura un rapport de nombre à nombre à l’angle $\pi$ de deux droits, et la courbe décrite par le pendule ne sera formée que d’un certain nombre de spires qui reviendront les mêmes ; dans le cas contraire, la courbe sera une espèce de spirale continue. Mais ces conclusions ne sont qu’approchées, et, pour avoir des résultats plus exacts, il faudra pousser l’approximation plus loin, au moyen des séries que nous avons données.

Ce problème a été résolu anciennement par Clairaut, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences, de l’année 1735, mais d’une manière moins complète ; et les résultats approchés que nous venons de trouver s’accordent avec les siens, en faisant $\beta =0$ dans l’expression de $\mathrm {T} ,$ et $\beta =\alpha$ dans celle de $\Phi .$

↑ Cette formule est inexacte. M. Bravais, qui m’a fait remarquer cette inadvertance de Lagrange, m’a remis le calcul rectifié, que nous reproduisons à la fin du Volume.

(J. Bertrand. )

[1] Cette formule est inexacte. M. Bravais, qui m’a fait remarquer cette inadvertance de Lagrange, m’a remis le calcul rectifié, que nous reproduisons à la fin du Volume.

(J. Bertrand. )

[1]