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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

et, par conséquent, par les formules de l’article 1,

$\xi '=1,\qquad \eta ''=1,\qquad \zeta '''=1,$

et toutes les autres quantités $\xi '',\,\xi ''',\ldots$ nulles. En faisant ces substitutions dans l’expression générale de $k,$ elle devient $1.$ Donc, on aura toujours

$k=1.$

7. Comme, entre les neuf indéterminées $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',$ $\eta ',\,\,\eta '',\,\eta ''',$ $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',$ il y a essentiellement six équations de condition, on peut réduire toutes ces indéterminées à trois ; et il suffirait d’y réduire les six $\xi ',\,\xi '',\,\eta ',\,\eta '',\,\zeta ',\,\zeta '',$ par le moyen des trois équations de condition

$\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}=1,\quad \xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}=1,\quad \xi '\xi ''+\eta '\eta ''+\zeta '\zeta ''=0,$

puisque les trois autres $\xi ''',\,\eta ''',\,\zeta '''$ sont déjà connues en fonctions de celles-là par les formules précédentes.

Mais cette réduction se simplifie beaucoup en employant les sinus et cosinus d’angles ; on peut même y parvenir directement par les transformations connues des coordonnées.

En effet, puisque $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sont les coordonnées rectangles d’un point quelconque du corps par rapport à trois axes menés par son centre parallèlement aux axes fixes des coordonnées $x,\,y,\,z,$ et que $a,\,b,\,c,$ sont les coordonnées rectangles du même point par rapport à trois autres axes passant par le même centre, mais fixes au dedans du corps, et, par conséquent, de positions variables à l’égard des axes des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ il s’ensuit que, pour avoir les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ en $a,\,b,\,c,$ il n’y aura qu’à transformer de la manière la plus générale ces coordonnées dans les autres.

Pour cela, nous nommerons $\omega$ l’angle que le plan des coordonnées $a,b$ fait avec celui des coordonnées $\xi ,\,\eta ,$ et $\psi$ l’angle que l’intersection de ces deux plans fait avec l’axe des $\xi \,;$ enfin nous désignerons par $\varphi$ l’angle que l’axe des $a$ fait avec la même ligne d’intersection : ces trois quantités $\omega ,\psi ,\,\varphi$ serviront, comme l’on voit, à déterminer la position des axes des coordonnées $a,\,b,\,c,$ relativement aux axes des coordon-