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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

6. Mais, si l’on cherche directement les valeurs de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ par la résolution des équations de l’article 1, on aura, d’après les formules connues,

${\begin{aligned}a=&{\frac {\xi (\eta ''\zeta '''-\eta '''\zeta '')+\eta (\zeta ''\xi '''-\zeta '''\xi '')+\zeta (\xi ''\eta '''-\xi '''\eta '')}{k}},\\b=&{\frac {\xi (\zeta '\ \eta '''-\zeta '''\eta '\ )+\eta (\xi '\ \zeta '''-\xi '''\zeta '\,)+\zeta (\eta '\xi '''-\eta '''\xi ')}{k}},\\c=&{\frac {\xi (\eta '\ \zeta ''\ -\eta ''\ \zeta '\ )+\eta (\zeta '\ \xi ''\,-\zeta ''\ \xi '\,)+\zeta (\xi '\eta ''-\xi ''\eta ')}{k}},\end{aligned}}$

en supposant

$k=\xi '\eta ''\zeta '''-\eta '\xi ''\zeta '''+\zeta '\xi ''\eta '''-\xi '\zeta ''\eta '''+\eta '\zeta ''\xi '''-\zeta '\eta ''\xi '''.$

Ces expressions doivent donc être identiques avec celles de l’article précédent ; ainsi, en comparant les coefficients des quantités $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ on aura les équations suivantes :

${\begin{alignedat}{6}\eta ''\zeta '''&-&\eta '''\zeta ''=&k\xi ',&\zeta ''\xi '''&-&\zeta '''\xi ''=&k\eta ',&\xi ''\eta '''&-&\xi '''\eta ''&=&k\zeta ',\\\zeta '\,\eta '''&-&\zeta '''\eta '=&k\xi '',&\xi '\,\zeta '''&-&\xi '''\zeta '=&k\eta '',&\eta '\,\xi '''&-&\eta '''\xi '&=&k\zeta '',\\\eta '\;\zeta ''&-&\eta ''\zeta '=&k\xi ''',\quad &\zeta '\;\xi ''&-&\zeta ''\xi '=&k\eta ''',\quad &\xi '\;\eta ''&-&\xi ''\eta '&=&k\zeta ''',\\\end{alignedat}}$

Or, si l’on ajoute ensemble les carrés des trois premières, on a

$(\eta ''\zeta '''-\eta '''\zeta '')^{2}+(\zeta ''\xi '''-\zeta '''\xi '')^{2}+(\xi ''\eta '''-\xi '''\eta '')^{2}=k^{2}\left(\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}\right)\,;$

le premier membre peut se mettre sous cette forme

$\left(\xi ''^{2}+\eta ''^{2}+\zeta ''^{2}\right)\left(\xi '''^{2}+\eta '''^{2}+\zeta '''^{2}\right)-\left(\xi ''\xi '''+\eta ''\eta '''+\zeta ''\zeta '''\right)^{2}\,;$

donc, par les équations de condition de l’article 3, cette équation se réduit à

$1=k^{2},\qquad {\text{d’où}}\qquad k=\pm 1.$

Pour savoir lequel des deux signes on doit prendre, il n’y a qu’à considérer la valeur de $k$ dans un cas particulier ; or le cas le plus simple est celui où les trois axes des coordonnées $a,\,b,\,c,\ldots ,$ coïncideraient avec les trois axes des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ auquel cas on aurait

$\xi =a,\quad \eta =b,\quad \zeta =c,$