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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

Et il est visible que les trois coordonnées $a'',\,b'',\,c'$ seront la même chose que les coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ puisqu’elles sont rapportées aux mêmes axes ; de sorte qu’en substituant successivement les valeurs de $a',\,b'',\,b',$ on aura les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ en $a,\,b,\,c,$ lesquelles se trouveront de la même forme que celles de l’article 1, en supposant

${\begin{aligned}\xi '\,\ =&+\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi \cos \omega ,\\\xi ''\ =&-\sin \varphi \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi \cos \omega ,\\\xi '''=&+\sin \psi \sin \omega ,\\\\\eta '\,\ =&+\cos \varphi \sin \psi +\sin \varphi \cos \psi \cos \omega ,\\\eta ''\ =&-\sin \varphi \,\sin \psi +\cos \varphi \cos \psi \cos \omega ,\\\eta '''=&-\cos \psi \sin \omega ,\\\\\zeta '\,\ =&+\sin \varphi \sin \omega ,\\\zeta ''\ =&+\cos \varphi \sin \omega ,\\\zeta '''=&+\cos \omega .\end{aligned}}$

Ces valeurs satisfont aussi aux six équations de condition de l’article 5, ainsi qu’à celles de l’article_5, et résolvent ces équations dans toute leur étendue, puisqu’elles renferment trois variables indéterminées $\varphi ,\,\psi ,\,\omega .$

En substituant ces valeurs, les expressions des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ deviennent plus simples ; mais il est utile d’y conserver les coefficients $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\ldots ,$ pour maintenir la symétrie dans les formules et en faciliter les réductions.

8. Comme les quantités $\xi ',\,\eta ',\,\zeta '$ sont des valeurs particulières de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ elles doivent satisfaire aux équations différentielles de l’article 1 entre ces dernières variables ; ainsi l’on aura

$d\xi '=\zeta 'd\mathrm {M} -\eta 'd\mathrm {N} ,\qquad d\eta '=\xi 'd\mathrm {N} -\zeta 'd\mathrm {L} ,\qquad d\zeta '=\eta 'd\mathrm {L} -\xi 'd\mathrm {M} ,$

et l’on aura de même

${\begin{alignedat}{3}d\xi ''\ =&\zeta ''\,d\mathrm {M} -\eta ''d\mathrm {N} ,\qquad &d\eta ''\ =&\xi ''\,d\mathrm {N} -\zeta ''d\mathrm {L} ,\qquad &d\zeta ''\ =&\eta ''\,d\mathrm {L} -\xi ''d\mathrm {M} ,\\d\xi '''=&\zeta '''d\mathrm {M} -\eta '''d\mathrm {N} ,\qquad &d\eta '''=&\xi '''d\mathrm {N} -\zeta '''d\mathrm {L} ,\qquad &d\zeta '''=&\eta '''d\mathrm {L} -\xi '''d\mathrm {M} .\end{alignedat}}$