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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

De là on peut tirer facilement les valeurs des quantités $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ en fonctions de $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots .$ En effet, si l’on ajoute ensemble les valeurs de $d\zeta ',\,d\zeta '',\,d\zeta ''',$ après les avoir multipliées par $\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',$ on aura, en vertu des équations de condition,

$d\mathrm {L} =\eta 'd\zeta '+\eta ''d\zeta ''+\eta '''d\zeta '''.$

On trouvera de même, en multipliant $d\xi ',\,d\xi '',\,d\xi '''$ par $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',$ et $d\eta ',\,d\eta '',\,d\eta '''$ par $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',$

${\begin{aligned}d\mathrm {M} =&\zeta 'd\xi '+\zeta ''d\xi ''+\zeta '''d\xi ''',\\d\mathrm {N} =&\xi 'd\eta '+\xi ''d\eta ''+\xi '''d\eta '''.\end{aligned}}$

Ayant ainsi les valeurs de $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ en fonctions de $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',\ldots ,$ si l’on y substitue les valeurs de ces dernières quantités en fonctions des angles $\varphi ,\,\psi ,\,\omega$ (art. 7), on aura, après les réductions, ces expressions assez simples

${\begin{aligned}d\mathrm {L} \ =&\sin \psi \sin \omega d\varphi +\cos \psi d\omega ,\\d\mathrm {M} =&-\cos \psi \sin \omega d\varphi +\sin \psi d\omega ,\\d\mathrm {N} \,=&\cos \omega d\varphi +d\psi .\end{aligned}}$

9. L’axe autour duquel le système peut tourner en décrivant l’angle $\varphi ,$ et dont la position dépend des deux angles $\psi$ et $\omega ,$ est supposé fixe dans le système et mobile dans l’espace ; mais nous avons vu, dans la Section III de la I^re Partie (art. 11 et 12), qu’il y a toujours un axe autour duquel le système tourne réellement dans chaque instant, et que nous avons nommé axe instantané de rotation. On peut déterminer aussi la position instantanée de cet axe, ainsi que l’angle élémentaire de la rotation, par des angles analogues aux angles $\psi ,\,\omega ,\,\varphi ,$ et que nous désignerons par ${\bar {\psi }},\,{\bar {\omega }},\,{\bar {\varphi }}\,;$ car, les expressions de $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ étant générales pour telle position qu’on veut de l’axe de rotation $\varphi ,$ elles auront lieu aussi pour l’axe instantané de rotation en y changeant $\psi ,\,\omega ,\,\varphi$ en ${\bar {\psi }},\,{\bar {\omega }},\,{\bar {\varphi }}.$ Mais, comme la propriété de ce dernier axe est d’être immobile pendant un instant, il faudra que les différentielles $d{\bar {\psi }},\,d{\bar {\omega }},$ dues au changement de position de cet axe,