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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\xi '\ \,d\mathrm {L} +\eta '\ \,d\mathrm {M} +\zeta '\ \,d\mathrm {N} ,\\d\mathrm {Q} =&\xi ''\ d\mathrm {L} +\eta ''\ d\mathrm {M} +\zeta ''\ d\mathrm {N} ,\\d\mathrm {R} =&\xi '''d\mathrm {L} +\eta '''d\mathrm {M} +\zeta '''d\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

ce qui donne, par les équations de condition de l’article 5,

$d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}=d\mathrm {L} ^{2}+d\mathrm {M} ^{2}+d\mathrm {N} ^{2}=d{\bar {\varphi }}^{2},$

on aura

${\bar {a}}={\frac {d\mathrm {P} }{d{\bar {\varphi }}}},\qquad {\bar {b}}={\frac {d\mathrm {Q} }{d{\bar {\varphi }}}},\qquad {\bar {c}}={\frac {d\mathrm {R} }{d{\bar {\varphi }}}},$

expressions entièrement semblables à celles des ${\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\zeta }}$ dans lesquelles on voit que les quantités $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$^[1] répondent aux quantités $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N} .$ Et ces valeurs de ${\bar {a}},\,{\bar {b}},\,{\bar {c}}$ seront pareillement les cosinus des angles que l’axe de rotation fait avec les axes des coordonnées $a,\,b,\,c.$

11. Pour avoir les valeurs de $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ exprimées par les variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots ,$ il ne s’agira que de substituer à la place de $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ les valeurs données dans l’article 8. Mais, pour obtenir les formules les plus simples, il conviendra de mettre ces dernières valeurs sous la forme suivante, qui est équivalente à celle de l’article cité en vertu des équations de condition données à l’article 5,

${\begin{alignedat}{7}2d\mathrm {L} \ &=&\eta 'd\zeta '&+&\eta ''d\zeta ''&+&\eta '''d\zeta '''&-&\zeta 'd\eta '&-&\zeta ''d\eta ''&-&\zeta '''d\eta ''',\\2d\mathrm {M} &=&\zeta 'd\xi '&+&\zeta ''d\xi ''&+&\zeta '''d\xi '''&-&\xi 'd\zeta '&-&\xi ''d\zeta ''&-&\xi '''d\zeta ''',\\2d\mathrm {N} \,&=&\xi 'd\eta '&+&\xi ''d\eta ''&+&\xi '''d\eta '''&-&\eta 'd\xi '&-&\eta ''d\xi ''&-&\eta '''d\xi '''.\end{alignedat}}$

On aura ainsi, en substituant et ordonnant, les termes

${\begin{aligned}2d\mathrm {P} =&+(\xi '\eta ''-\eta '\xi '')d\zeta ''+(\xi '\eta '''-\eta '\xi ''')d\zeta '''\\&+(\zeta '\xi ''-\xi '\zeta '')d\eta ''+(\zeta '\xi '''-\xi '\zeta ''')d\eta '''\\&+(\eta '\zeta ''-\zeta '\eta '')d\xi ''+(\eta '\zeta '''-\zeta '\eta ''')d\xi '''\,;\end{aligned}}$

1. Il faut bien remarquer que Lagrange définit ici les quantités $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} ,$ sans s’inquiéter de savoir si les expressions auxquelles il donne ce nom sont intégrables, en sorte qu’il n’existe, en réalité, aucune fonction des variables actuelles qui puisse représenter $\mathrm {P,\,Q,\,R} .$ Cette remarque est essentielle pour l’intelligence de l’article 15, page 199. (J. Bertrand.)