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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

soient nulles ; de sorte qu’on aura pour l’axe dont il s’agit

${\begin{aligned}\sin {\bar {\psi }}\sin {\bar {\omega }}d{\bar {\varphi }}=&d\mathrm {L} ,\\\cos {\bar {\psi }}\sin {\bar {\omega }}d{\bar {\varphi }}=&-d\mathrm {M} ,\\\cos {\bar {\omega }}d{\bar {\varphi }}=&d\mathrm {N} \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$d{\bar {\varphi }}={\sqrt {d\mathrm {L} ^{2}+d\mathrm {M} ^{2}+d\mathrm {N} ^{2}}}\,;$

c’est l’angle de la rotation instantanée que nous avons dénoté par $d\theta$ dans l’endroit cité de la I^re Partie.

On aura ensuite la position de cet axe par les deux angles ${\bar {\omega }}$ et ${\bar {\psi }}$ mais, pour le rapporter aux axes fixes des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ il suffit de considérer qu’ayant pris J’axe des $c$ pour l’axe de rotation, on a, pour tous les points de cet axe, $a=0,\,b=0\,;$ donc, si l’on désigne par ${\bar {\xi }},\,{\bar {\eta }},\,{\bar {\zeta }}$ les coordonnées qui répondent au point où $c$ est égal à $1,$ et qui sont en même temps les cosinus des angles que l’axe de rotation fait avec les trois axes des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ on a, par les formules de l’article 8,

${\bar {\xi }}={\frac {dL}{d{\bar {\varphi }}}},\qquad {\bar {\eta }}={\frac {dM}{d{\bar {\varphi }}}},\qquad {\bar {\zeta }}={\frac {dN}{d{\bar {\varphi }}}}.$

En effet, ces valeurs de ${\bar {\xi }},\,{\bar {\eta }},\,{\bar {\zeta }}$ rendent nulles celles de leurs différentielles, comme on le voit par les formules de l’article 1, ce qui est la propriété de tous les points de l’axe instantané de rotation, et par laquelle nous avons déterminé cet axe dans la Section III de la I^re Partie.

On voit par là que les quantités $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ répondent exactement aux angles de rotation que nous avons dénotés par $d\psi ,\,d\omega ,\,d\varphi$ dans la Section que nous venons de citer, et que nous avons conservés dans la Section III ci-dessus.

10. Si, maintenant, on substitue ces mêmes valeurs de ${\bar {\xi }},\,{\bar {\eta }},\,{\bar {\zeta }}$ dans les expressions générales de $a,\,b,\,c,$ de l’article 5, à la place de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ on aura les valeurs des coordonnées $a,\,b,\,c$ qui répondent à l’axe instantané de rotation, et que nous désignerons par ${\bar {a}},\,{\bar {b}},\,{\bar {c}}.$ Ainsi,