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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

En ayant ensuite égard aux trois autres équations de condition de l’article 5, et supposant les valeurs de $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ données ci-dessus, ces trois équations deviennent

${\bar {c}}d\mathrm {Q} -{\bar {b}}d\mathrm {R} =0,\qquad {\bar {a}}d\mathrm {R} -{\bar {c}}d\mathrm {P} =0,\qquad {\bar {b}}d\mathrm {P} -{\bar {a}}d\mathrm {Q} =0,$

auxquelles satisfont évidemment les valeurs ${\bar {a}},\,{\bar {b}},\,{\bar {c}}$ données ci-dessus.

13. De même que les quantités $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ servent à exprimer d’une manière uniforme les différentielles des quantités $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\ldots ,$ comme on l’a vu dans l’article 8, on peut aussi exprimer ces différentiellespar les quantités $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} .$

En effet, si l’on prend les trois équations

${\begin{aligned}\xi '\ \,d\xi '+\eta '\ \,d\eta '+\zeta '\ \,d\zeta '=&0,\\\xi ''\,d\xi '+\eta ''\ d\eta '+\zeta ''\ d\zeta '=&d\mathrm {R} ,\\\xi '''d\xi '+\eta '''d\eta '+\zeta '''d\zeta '=&-d\mathrm {Q} ,\\\end{aligned}}$

et qu’on les ajoute ensemble après les avoir multipliées successivement par $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',$ par $\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',$ et par $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',$ on aura tout de suite, par les équations de condition de l’article 5,

${\begin{aligned}d\xi '=&\xi ''d\mathrm {R} -\xi '''d\mathrm {Q} ,\\d\eta '=&\eta ''d\mathrm {R} -\eta '''d\mathrm {Q} ,\\d\zeta '=&\zeta ''d\mathrm {R} -\zeta '''d\mathrm {Q} .\end{aligned}}$

De même, les trois équations

${\begin{aligned}\xi '\ \,d\xi ''+\eta '\ \,d\eta ''+\zeta '\ \,d\zeta ''=&-d\mathrm {R} ,\\\xi ''\,d\xi ''+\eta ''\ d\eta ''+\zeta ''\ d\zeta ''=&0,\\\xi '''d\xi ''+\eta '''d\eta ''+\zeta '''d\zeta ''=&d\mathrm {P} ,\\\end{aligned}}$

étant multipliées successivement par $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',$ et par $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',$ et ensuite ajoutées ensemble, donneront, par les mêmes équations de condition,

${\begin{aligned}d\xi ''=&\xi '''d\mathrm {P} -\xi 'd\mathrm {R} ,\\d\eta ''=&\eta '''d\mathrm {P} -\eta 'd\mathrm {R} ,\\d\zeta ''=&\zeta '''d\mathrm {P} -\zeta 'd\mathrm {R} .\end{aligned}}$