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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

Enfin les équations

${\begin{aligned}\xi '\ \,d\xi '''+\eta '\ \,d\eta '''+\zeta '\ \,d\zeta '''=&d\mathrm {Q} ,\\\xi ''\,d\xi '''+\eta ''\ d\eta '''+\zeta ''\ d\zeta '''=&-d\mathrm {P} ,\\\xi '''d\xi '''+\eta '''d\eta '''+\zeta '''d\zeta '''=&0\end{aligned}}$

donneront de la même manière

${\begin{aligned}d\xi '''=&\xi 'd\mathrm {Q} -\xi ''d\mathrm {P} ,\\d\eta '''=&\eta 'd\mathrm {Q} -\eta ''d\mathrm {P} ,\\d\zeta '''=&\zeta 'd\mathrm {Q} -\zeta ''d\mathrm {P} .\end{aligned}}$

14. Par le moyen de ces formules, on peut représenter d’une manière fort simple les variations des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ lorsqu’on veut considérer à la fois le changement de situation du système autour de son centre et le changement des distances mutuelles des points du système. Pour cela, il est clair qu’il faut différentier les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ en regardant en même temps comme variables toutes les quantités $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\eta '',\ldots ,$ ainsi que $a,\,b,\,c\,;$ ce qui donne

${\begin{aligned}d\xi =&ad\xi '+bd\xi ''\,+cd\xi '''+\xi 'da+\xi ''db+\xi '''dc,\\d\eta =&ad\eta '+bd\eta ''+cd\eta '''+\eta 'da+\eta ''db+\eta '''dc,\\d\zeta =&ad\zeta '+bd\zeta ''+cd\zeta '''+\zeta 'da+\zeta ''db\,+\zeta '''dc\,;\end{aligned}}$

substituant les expressions de $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi ',\ldots$ qu’on vient de trouver, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}da'=&da+cd\mathrm {Q} -bd\mathrm {R} ,\\db'=&db+ad\mathrm {R} -cd\mathrm {P} ,\\dc'=&dc+bd\mathrm {P} \,-ad\mathrm {Q} ,\end{aligned}}$

on aura ces formules différentielles très simples,

${\begin{aligned}d\xi =&\xi 'da'+\xi ''db'+\xi '''dc',\\d\eta =&\eta 'da'+\eta ''db'+\eta '''dc',\\d\zeta =&\zeta 'da'+\zeta ''db'+\zeta '''dc'.\end{aligned}}$

Et si l’on différentié ces expressions, qu’on y substitue de nouveau