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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.
Maintenant on aura, en différentiant
suivant,
![{\displaystyle \delta \,d\mathrm {P} =\xi '''\delta \,d\xi ''+\eta '''\delta \,d\eta ''+\zeta '''\delta \,d\zeta ''+\delta \xi '''d\xi ''+\delta \eta '''d\eta ''+\delta \zeta '''d\zeta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8492a3e8eb3200cf1726afd09a3fdccc2950f297)
et, en différentiant
par ![{\displaystyle d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b42a115d30706dde56ddece71bb4248da2115d6)
![{\displaystyle d\,\delta \mathrm {P} =\xi '''d\,\delta \xi ''+\eta '''d\,\delta \eta ''+\zeta '''d\,\delta \zeta ''+d\xi '''\delta \xi ''+d\eta '''\delta \eta ''+d\zeta '''\delta \zeta ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba03f699c79f396f4b1789005ab963a36fffb8e)
Mais
sont la même chose que
parce que les quantités
sont des variables finies ; donc on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \,d\mathrm {P} -d\,\delta \mathrm {P} =&+\delta \xi '''d\xi ''+\delta \eta '''d\eta ''+\delta \zeta '''d\zeta ''\\&-d\xi '''\delta \xi ''-d\eta '''\delta \eta ''-d\zeta '''\delta \zeta ''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e763a621956a520d839d389d0a3d29c2ba837e57)
Substituons pour
et
leurs valeurs en
(art. 13), et pour
et
les valeurs analogues qui viennent du changement de la caractéristique
en
on aura, par les équations de condition de l’article 2,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \xi '''d\xi ''+\delta \eta '''d\eta ''+\delta \zeta '''d\zeta ''=&-\delta \mathrm {Q} d\mathrm {R} ,\\d\xi '''\delta \xi ''+d\eta '''\delta \eta ''+d\zeta '''\delta \zeta ''=&-d\mathrm {Q} \delta \mathrm {R} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4ea797d85e06d0b8f8f006616539188cdfe376)
donc
![{\displaystyle \delta \,d\mathrm {P} =d\,\delta \mathrm {P} +d\mathrm {Q\delta R} -d\mathrm {R\delta Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc00716a7554ebb1452cd465ee8e30accd859a6)
Et, par un calcul semblable, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \,d\mathrm {Q} =&d\,\delta \mathrm {Q} +d\mathrm {R\delta P} -d\mathrm {P\delta R} ,\\\delta \,d\mathrm {R} =&d\,\delta \mathrm {R} +d\mathrm {P\delta Q} -d\mathrm {Q\delta P} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56553ed2d397c03812d53cafdba11a24fc0d9505)
Ici se termine ce que l’on a pu trouver d’entièrement achevé sur le mouvement de rotation dans les manuscrits de M. Lagrange. Nous nous proposons de continuer ce Chapitre avec les paragraphes de l’ancienne édition, en profitant de plusieurs changements indiqués dans l’exemplaire de M. Lagrange. Nous renfermerons dans une Note placée à la fin du Volume quelques fragments relatifs à ce sujet, qui devaient servir de matériaux à un paragraphe sur les équations générales du mouvement de rotation d’un système quelconque de corps ; ils sont dans un état trop incomplet pour entrer dans le texte, et cependant les géomètres regretteraient de ne pas les connaître.
(Note des éditeurs de la deuxième édition.)