Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/225

217

SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

Maintenant on aura, en différentiant $d\mathrm {P}$ suivant,

$\delta \,d\mathrm {P} =\xi '''\delta \,d\xi ''+\eta '''\delta \,d\eta ''+\zeta '''\delta \,d\zeta ''+\delta \xi '''d\xi ''+\delta \eta '''d\eta ''+\delta \zeta '''d\zeta '',$

et, en différentiant $\delta \mathrm {P}$ par $d,$

$d\,\delta \mathrm {P} =\xi '''d\,\delta \xi ''+\eta '''d\,\delta \eta ''+\zeta '''d\,\delta \zeta ''+d\xi '''\delta \xi ''+d\eta '''\delta \eta ''+d\zeta '''\delta \zeta ''.$

Mais $\delta \,d\xi '',\,\delta \,d\eta '',\,\delta \,d\zeta ''$ sont la même chose que $d\,\delta \xi '',\,d\,\delta \eta '',\,d\,\delta \zeta '',$ parce que les quantités $\xi '',\,\eta '',\,\zeta ''$ sont des variables finies ; donc on aura

${\begin{aligned}\delta \,d\mathrm {P} -d\,\delta \mathrm {P} =&+\delta \xi '''d\xi ''+\delta \eta '''d\eta ''+\delta \zeta '''d\zeta ''\\&-d\xi '''\delta \xi ''-d\eta '''\delta \eta ''-d\zeta '''\delta \zeta ''.\end{aligned}}$

Substituons pour $d\xi '',\,d\eta '',\,d\zeta ''$ et $d\xi ''',\,d\eta ''',\,d\zeta '''$ leurs valeurs en $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ (art. 13), et pour $\delta \xi '',\,\delta \eta '',\,\delta \zeta ''$ et $\delta \xi ''',\,\delta \eta ''',\,\delta \zeta '''$ les valeurs analogues qui viennent du changement de la caractéristique $d$ en $\delta \,;$ on aura, par les équations de condition de l’article 2,

${\begin{aligned}\delta \xi '''d\xi ''+\delta \eta '''d\eta ''+\delta \zeta '''d\zeta ''=&-\delta \mathrm {Q} d\mathrm {R} ,\\d\xi '''\delta \xi ''+d\eta '''\delta \eta ''+d\zeta '''\delta \zeta ''=&-d\mathrm {Q} \delta \mathrm {R} \,;\end{aligned}}$

donc

$\delta \,d\mathrm {P} =d\,\delta \mathrm {P} +d\mathrm {Q\delta R} -d\mathrm {R\delta Q} .$

Et, par un calcul semblable, on trouvera

${\begin{aligned}\delta \,d\mathrm {Q} =&d\,\delta \mathrm {Q} +d\mathrm {R\delta P} -d\mathrm {P\delta R} ,\\\delta \,d\mathrm {R} =&d\,\delta \mathrm {R} +d\mathrm {P\delta Q} -d\mathrm {Q\delta P} .\end{aligned}}$

Ici se termine ce que l’on a pu trouver d’entièrement achevé sur le mouvement de rotation dans les manuscrits de M. Lagrange. Nous nous proposons de continuer ce Chapitre avec les paragraphes de l’ancienne édition, en profitant de plusieurs changements indiqués dans l’exemplaire de M. Lagrange. Nous renfermerons dans une Note placée à la fin du Volume quelques fragments relatifs à ce sujet, qui devaient servir de matériaux à un paragraphe sur les équations générales du mouvement de rotation d’un système quelconque de corps ; ils sont dans un état trop incomplet pour entrer dans le texte, et cependant les géomètres regretteraient de ne pas les connaître. (Note des éditeurs de la deuxième édition.)