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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Et, comme l’expression précédente $\mathrm {V} ,$ au terme constant ${\frac {k\mathrm {E} }{2}}$ près, est la même chose que si tout le corps était concentré dans son centre, auquel cas $x=x',$ $y=y',$ $z=z',$ on aura pour le mouvement progressif de ce centre les mêmes équations que si le corps était réduit à un point ; car les différences partielles de $\mathrm {V}$ relativement aux variables $x',\,y',\,z'$ seront les mêmes que dans cette hypothèse.

Si l’on veut considérer le corps comme pesant, en prenant la force accélératrice de la gravité pour l’unité et l’axe des coordonnées $z$ dirigé verticalement de haut en bas, on aura

${\overline {\mathrm {P} }}=1\qquad {\text{et}}\qquad {\bar {p}}=h-z\,;$

donc

$\int \mathrm {P} dp=h-z=h-z'-a\zeta '-b\zeta ''-c\zeta '''\,;$

de sorte que la quantité $\mathrm {V}$ contiendra, à raison de la pesanteur du corps, les termes

$(h-z')$_S$\operatorname {D} m-\xi '$_S$a\operatorname {D} m-\xi ''$_S$b\operatorname {D} m-\xi '''$_S$c\operatorname {D} m.$

Ainsi, si le centre du corps est pris dans son centre de gravité, les termes qui contiennent les variables $\zeta ',\,\zeta '',\ldots$ disparaîtront, et, par conséquent, l’effet de la gravité sur la rotation sera nul, comme dans le cas précédent. La valeur de $\mathrm {V} ,$ en tant qu’elle est due à la gravité, se réduira alors à $(h-z')$_S$\operatorname {D} m,$ c’est-à-dire à ce qu’elle serait si le corps était réduit à un point en conservant sa masse _S$\operatorname {D} m\,;$ donc aussi le mouvement de translation du corps sera le même que dans ce cas.

§ III. — Détermination du mouvement d’un corps grave de figure quelconque.

24. Ce problème, quelque difficile qu’il soit, est néanmoins un des plus simples que présente la Mécanique, quand on considère les choses dans l’état naturel et sans abstraction ; car, tous les corps étant essentiellement pesants et étendus, on ne peut les dépouiller de l’une ou de