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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

gnant par $f,\,g,\,h$ les coordonnées du centre des forces, le terme dont il s’agit donnera ceux-ci :

${\frac {k}{2}}\left[(x-f)^{2}+(y-g)^{2}+(z-h)^{2}\right].$

Donc, substituant pour $x,y,z$ leurs valeurs $x'+\xi ,\,y'+\eta ,\,z'+\zeta ,$ multipliant par $\operatorname {D} m,$ et intégrant selon _S, on aura, dans la valeur de $\mathrm {V} =$_S$\Pi \operatorname {D} m,$ les termes suivants :

${\frac {k}{2}}\left[(x'-f)^{2}+(y'-g)^{2}+(z'-h)^{2}\right]$_S$\operatorname {D} m+k(x'-f)$ _S$\xi \operatorname {D} m$

$+k(y'-g)$_S$\eta \operatorname {D} m+k(z'-h)$_S$\zeta \operatorname {D} m+{\frac {k}{2}}$_S$\left(\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}\right)\operatorname {D} m.$

Or

$\xi =a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\quad \eta =a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\quad \zeta =a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta '''\,;$

donc

_S$\xi \operatorname {D} m=\xi '$_S$a\operatorname {D} m+\xi ''$_S$b\operatorname {D} m+\xi '''$_S$c\operatorname {D} m,$

et ainsi des autres ; et (art. 5)

_S$\left(\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}\right)\operatorname {D} m=$_S$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {D} m$

sera égal à une constante que nous désignerons par $\mathrm {E} .$

Mais, si l’on prend pour le centre arbitraire du corps son centre même de gravité, on a alors

_S$a\operatorname {D} m=0,\qquad$_S$b\operatorname {D} m=0,\qquad$_S$c\operatorname {D} m=0,$

comme nous l’avons déjà vu ci-dessus (art. 19). Ainsi, dans ce cas, la quantité $\mathrm {V}$ ne contiendra, relativement à la force dont il s’agit, que les termes

${\frac {k}{2}}\left[(x'-f)^{2}+(y'-g)^{2}+(z'-h)^{2}\right]+{\frac {k}{2}}\mathrm {E} \,;$

de sorte que toutes les différences partielles ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \xi ''}},\ldots$ seront nulles.

D’où il s’ensuit que l’effet de cette force sera nul par rapport au mouvement de rotation autour du centre de gravité.