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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
§ 1. — Du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil
supposé fixe.
15. Dans le système du monde, la force attractive étant en raison inverse du carré des distances, on fera
étant la force attractive d’une planète vers le Soleil, à la distance
ce qui donnera
Substituant cette valeur dans l’équation entre
et
(art. 11), on voit que la quantité sous le signe devient
![{\displaystyle 2\mathrm {H} +{\frac {2\mathrm {g} }{r}}-{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e9a203624018d255fb5b5a000ebfb090d2f3df)
laquelle peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle 2\mathrm {H+{\frac {g^{2}}{D^{2}}}} -\left({\frac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\frac {g}{D}} \right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69bdbb81dc5132bdff35f9b520e894dcb09f51e)
alors le second membre de l’équation exprimera la différentielle de l’angle ayant pour cosinus la quantité
![{\displaystyle {\frac {{\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} }{\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acd3721c5e9c7a5615bdbf9bfbf1983d81670e4)
de sorte que, intégrant, ajoutant à
la constante arbitraire
et passant des arcs à leurs cosinus, on aura
![{\displaystyle {\dfrac {\mathrm {D} }{r}}-\mathrm {\dfrac {g}{D}} =\mathrm {\sqrt {2H+{\dfrac {g^{2}}{D^{2}}}}} \cos(\Phi +\mathrm {K} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0b3da0e4bad8568f53d2540abaf1610e668488)
On voit que la plus petite valeur de
aura lieu lorsque l’angle
est nul de sorte que, comme nous avons supposé (art. 12) que l’angle
commence au point qui répond au minimum de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {K} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056ac09aff91a190dcc3ce70206a6e38e8389cd2)