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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Ces expressions de
sont conformes à la théorie générale exposée (Sect. II, art. 10), et l’on aurait pu les en déduire immédiatement.
En effet, en considérant tout de suite le mouvement dans l’orbite, on a les coordonnées
la troisième
étant nulle, lesquelles, ne renfermant que trois constantes arbitraires, peuvent être regardées comme des valeurs particulières des coordonnées générales
ensuite on aura celles-ci, par le moyen des coefficients
qui renferment les trois autres constantes.
14. Si, au lieu de considérer le mouvement dans l’orbite propre du corps, on rapportait ce mouvement à un plan quelconque, par les trois coordonnées
lesquelles ne continssent aussi que trois constantes arbitraires, on aurait alors par la même théorie les expressions générales
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\mathrm {\alpha \ \,X+\beta \ \,Y+\gamma \ \,Z} ,\\y=&\mathrm {\alpha _{1}X+\beta _{1}Y+\gamma _{1}Z} ,\\z=&\mathrm {\alpha _{2}X+\beta _{2}Y+\gamma _{2}Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8125d0d9064392c2e2c767ddcb0e5cd377c42ecc)
et comme on a trouvé (Sect. III, art. 10)
![{\displaystyle \gamma =\alpha _{1}\beta _{2}-\beta _{1}\alpha _{2},\quad \gamma _{1}=\beta \alpha _{2}-\alpha \beta _{2},\quad \gamma _{2}=\alpha \beta _{1}-\beta \alpha _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba40753cb3e197e21082491aab66e68ded2a5c5c)
on aurait
![{\displaystyle \gamma =\sin h\sin i,\quad \gamma _{1}=-\cos h\sin i,\quad \gamma _{2}=\cos i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcc68bd30cc80c682e76dc0380b281c04524aa9)
Ces valeurs de
renfermant les trois arbitraires
satisfont d’une manière générale aux six équations de condition données (Part. I, Sect. III, art. 10)
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \gamma ^{2}+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb94ac10a2da2ad434c992e33e0dde70be5025b)
![{\displaystyle \alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,\quad \alpha \gamma +\alpha _{1}\gamma _{1}+\alpha _{2}\gamma _{2}=0,\quad \beta \gamma +\beta _{1}\gamma _{1}+\beta _{2}\gamma _{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340ac23e02a6df4d9f13f0558e84a345578f1587)
Après avoir donné les formules générales pour le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe, il ne reste qu’à les appliquer au mouvement des planètes et des comètes ; c’est l’objet des paragraphes suivants.