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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

de ces trois équations,

${\begin{aligned}p^{2}+\,\quad q^{2}+\,\quad r^{2}=&u,\\\mathrm {A} \,\ p^{2}+\mathrm {B} \,\ q^{2}+\mathrm {C} \,\ r^{2}=&2h^{2},\\\mathrm {A} ^{2}p^{2}+\mathrm {B} ^{2}q^{2}+\mathrm {C} ^{2}r^{2}=&f^{2},\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}p^{2}=&{\frac {\mathrm {BC} u-2h^{2}(\mathrm {B+C} )+f^{2}}{\mathrm {(A-B)(A-C)} }},\\q^{2}=&{\frac {\mathrm {AC} u-2h^{2}(\mathrm {A+C} )+f^{2}}{\mathrm {(B-A)(B-C)} }},\\r^{2}=&{\frac {\mathrm {AB} u-2h^{2}(\mathrm {A+B} )+f^{2}}{\mathrm {(C-A)(C-B)} }}\,;\end{aligned}}$

ces valeurs étant substituées dans l’équation différentielle ci-dessus, le premier membre de cette équation deviendra, après les réductions,

${\frac {\mathrm {A^{2}B^{2}C^{2}} \left(4h^{4}-f^{2}u\right)du^{2}}{\begin{aligned}4\left[\mathrm {BC} u-2h^{2}(\mathrm {B+C} )+f^{2}\right]&\left[\mathrm {AC} u-2h^{2}(\mathrm {A+C} )+f^{2}\right]\\\times &\left[\mathrm {AB} u-2h^{2}(\mathrm {A+B} )+f^{2}\right]dt^{2}\end{aligned}}}$

et le second membre deviendra $f^{2}u-4h^{4},$ de sorte qu’en divisant toute l’équation par $f^{2}u-4h^{4}$ et tirant la racine carrée, on aura enfin

$dt={\frac {\mathrm {ABC} du}{2{\sqrt {\begin{aligned}-\left[\mathrm {BC} u-2h^{2}(\mathrm {B+C} )+f^{2}\right]&\left[\mathrm {AC} u-2h^{2}(\mathrm {A+C} )+f^{2}\right]\\\times &\left[\mathrm {AB} u-2h^{2}(\mathrm {A+B} )+f^{2}\right]\end{aligned}}}}}$

d’où l’on tirera par l’intégration $t$ en $u,$ et réciproquement.

27. Supposons maintenant que les constantes $\mathrm {F,\,G,\,H}$ ne soient pas nulles, et voyons comment on peut ramener ce cas au précédent, au moyen de quelques substitutions.

Pour cela, je substitue à la place des variables $p,\,q,\,r$ des fonctions d’autres variables $x,\,y,\,z,$ qu’il ne faudra pas confondre avec celles que nous avons employées jusqu’ici pour représenter les coordonnées des différents points du corps ; et je suppose d’abord ces fonctions telles que l’on ait

$p^{2}+q^{2}+r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Il est évident que, pour satisfaire à cette condition, elles ne peuvent