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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

ront à celles-ci

${\begin{aligned}\alpha x^{2}\ \ \ \,+\beta y^{2}\quad +\gamma z^{2}\ \quad =&2h^{2},\\\alpha ^{2}x^{2}\ \ +\beta ^{2}y^{2}\ \ +\gamma ^{2}z^{2}\ \ \ =&f^{2},\\{\frac {\alpha ^{2}dx^{2}+\beta ^{2}dy^{2}+\gamma ^{2}dz^{2}}{dt^{2}}}=&f^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-4h^{4},\end{aligned}}$

lesquelles sont, comme l’on voit, tout à fait semblables à celles de l’article 25, les quantités $x,\,y,\,z,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ répondant aux quantités $p,\,q,\,r,\,\mathrm {A,\,B,\,C} .$

D’où il suit que, si l’on fait, comme dans l’article cité,

$u=p^{2}+q^{2}+r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

on aura, entre les variables $x,\,y,\,z,\,u,\,t,$ les mêmes formules que l’on avait trouvées entre $p,\,q,\,r,\,u,\,t,$ en changeant seulement $\mathrm {A,\,B,\,C}$ en $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma .$

Ayant ainsi les valeurs de $x,\,y,\,z$ en $u$ ou $t,$ on aura les valeurs complètes de $p,\,q,\,r$ par les formules de l’article 27.

29. Les quantités $p,\,q,\,r$ ne suffisent pas pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de rotation du corps, elles ne servent qu’à faire connaître sa rotation instantanée. En effet, puisque

$p={\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\qquad q={\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\qquad r={\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

il s’ensuit de ce qu’on a vu dans l’article 10 que l’axe spontané de rotation, autour duquel le corps tourne à chaque instant, fera, avec les axes des coordonnées $a,\,b,\,c,$ des angles dont les cosinus seront respectivement

${\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\qquad {\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\qquad {\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},$

et que la vitesse angulaire autour de cet axe sera représentée par

${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}.$

Pour la connaissance complète de la rotation du corps, il faut encore