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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

déterminer les valeurs des neuf quantités $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\ldots ,$ d’où dépendent celles des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ lesquelles donnent la position absolue de chaque point du corps dans l’espace, relativement au centre de gravité regardé comme immobile (art. 17) ; c’est ce qui demande encore trois intégrations nouvelles.

Pour cet effet, je reprends les formules différentielles de l’article 13, et, mettant $pdt,\,qdt,\,rdt,$ au lieu de $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} ,$ j’ai ces équations

(C)

$\left\{{\begin{aligned}d\xi '\ \,+(q\xi '''-r\xi ''\ )dt=&0,\\d\xi ''\ +(r\xi '\ \,-p\xi ''')dt=&0,\\d\xi '''+(p\xi ''\ -q\xi '\ \,)dt=&0,\\\end{aligned}}\right.$

et autant d’équations semblables en $\eta ',\,\eta '',\,\eta '''$ et en $\zeta ',\,\zeta '',\,\zeta ''',$ en changeant seulement $\xi$ en $\eta$ et en $\zeta .$

Ces équations étant comparées avec les équations différentielles (A) de l’article 24, entre tes quantités ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}},{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}},{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}},$ il est visible qu’elles sont entièrement semblables ; de sorte que ces quantités répondent aux quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',$ comme aussi aux quantités $\eta ',\eta '',\eta ''',$ et aux quantités $\zeta ',\zeta '',\zeta '''.$

D’où je conclus que ces dernières variables peuvent être regardées comme des valeurs particulières des variables ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}},$ et qu’ainsi, puisque les équations entre ces variables sont simplement linéaires, on aura, en prenant trois constantes quelconques $l,\,m,\,n,$ ces trois équations intégrales complètes

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}=&l\xi '\ \,+m\eta '\ \,+n\zeta ',\\{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}=&l\xi ''\ +m\eta ''\ +n\zeta '',\\{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=&l\xi '''+m\eta '''+n\zeta '''\,;\end{aligned}}\right.$

or, en combinant ces trois équations avec les six équations de condition entre les mêmes variables $\xi ',\,\eta ',\ldots ,$ il semble qu’on pourrait déterminer ces variables, qui sont en tout au nombre de neuf ; mais, en