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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
arrêterons pas ici. On peut voir les Principes de Newton et les Ouvrages où l’on a traduit ses théories en Analyse.
16. Revenons maintenant à l’équation qui donne
en
(art. 10), et substituons-y
à la place de
à la place de
et
à la place de
elle deviendra
![{\displaystyle dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mathrm {g} a}}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af0064348b98f066c99ed4b0a9bbb774c5b0c8e)
Faisons
ce qui donne
![{\displaystyle r=a(1-e\cos \theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5efda8d06e7d430121783e32ba7780d4aa48927)
on aura
![{\displaystyle dt={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(1-e\cos \theta )d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2deb14d1bcecb18345bc7376608ac14646c1793d)
et, intégrant avec une constante arbitraire ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69521b7a6b4eb1710daf132d4da57fe1343fdad)
Cette équation donnera
en
et comme on a
en
on aura, par la substitution,
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si l’on fait la même substitution dans l’équation entre
et
de l’article 11, on aura celle-ci
![{\displaystyle d\Phi ={\frac {d\theta {\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e\cos \theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a45176a58763efcba810fe40c6418fe39484c0)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \Phi =\operatorname {arc\,\sin } {\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{1-e\cos \theta }}+\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc49a79cf708f170509956ca47a7dfad16bd915)
Mais on peut avoir la valeur de
en
sans une nouvelle intégration, par la simple comparaison des valeurs de
laquelle donne l’équation
![{\displaystyle {\frac {b}{1+e\cos \Phi }}=a(1-e\cos \theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f170b4f27a11dd2aac072c2783591b53535bcf38)