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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

d’où l’on tire, à cause de $b=a\left(1-e^{2}\right),$

$\cos \Phi ={\frac {\cos \theta -e}{1-e\cos \theta }},\quad \sin \Phi ={\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }}{\sqrt {1-e^{2}}},$

et, de là,

$\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {\theta }{2}}.$

On voit, par ces formules, que, lorsque l’angle $\theta$ est augmenté de $360^{\circ },$ le rayon $r$ revient le même, et que l’angle $\Phi$ est aussi augmenté de $360^{\circ }.$ Ainsi la planète revient au même point, après avoir fait une révolution entière. Or, l’angle $\theta$ augmentant de $360^{\circ },$ le temps $t$ se trouve augmenté de ${\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}\times 360\,;$ c’est le temps que la planète emploie pour revenir au même point de son orbite, et qu’on nomme le temps périodique. Ainsi ce temps ne dépend que du grand axe $2a,$ et il est le même que si la planète décrivait un cercle ayant pour rayon la distance moyenne $a.$ Dans ce cas, on aurait

$e=0,\quad t-c=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}},\quad \theta =\Phi \,;$

ainsi le temps serait proportionnel aux angles parcourus. Et si l’on suppose $\mathrm {g} =1,$ et qu’on prenne la distance moyenne $a$ de la Terre pour l’unité des distances, les temps seront représentés par les angles mêmes que la Terre décrirait si elle se mouvait dans un cercle dont la distance moyenne serait le rayon, avec une vitesse égale à l’unité. Le mouvement dans ce cercle est celui que les astronomes appellent mouvement moyen de la Terre ou du Soleil, et auquel ils rapportent communément les mouvements des autres planètes.

17. Lorsque l’orbite est hyperbolique, le grand axe $a$ devient négatif et l’angle $\theta$ imaginaire. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas, faisons

$a=-\mathrm {A} \quad {\text{et}}\quad \theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {-1}}},$