Supposons donc que l’axe des coordonnées
passe par le centre de gravité du corps ; on aura alors, par les propriétés de ce centre,
S
S![{\displaystyle b\operatorname {D} m=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7179eafbb6b25ccbfa5df269415d1c63e4cf683d)
et si l’on nomme
la distance entre le centre du corps, qui est le point de suspension, et son centre de gravité, il est visible qu’on aura aussi
S![{\displaystyle (c-k)\operatorname {D} m=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee74ef9849df8efe8704c765ab9f76bc7277c41)
donc
S
S
S![{\displaystyle \operatorname {D} m=km,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ce1dd518ebf9ff723619d272d4a8552064b97d)
en nommant
la masse du corps.
Faisant ces substitutions et mettant
pour
on aura les trois équations suivantes :
(E)
|
|
|
dans lesquelles
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)-\mathrm {F} qr-\mathrm {G} pr-\mathrm {H} pq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed9b550f6e9d751009c9fb1322f81d872fd27e0)
35. On peut d’abord trouver deux intégrales de ces équations, en les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement par
ou par
car, à cause de
![{\displaystyle d\zeta '=(\zeta ''r-\zeta '''q)dt,\qquad d\zeta ''=(\zeta '''p-\zeta 'r)dt,\qquad d\zeta '''=(\zeta 'q-\zeta ''p)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb0e37b3ae4fd91d520abb79458d447ed275e30)
(art. 13), on aura ainsi les deux équations
![{\displaystyle p\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-\mathrm {K} d\zeta '''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a9f77cf89602ec99f7dd02415819cf91ce8b3a)
![{\displaystyle \zeta 'd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\zeta ''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\zeta '''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}d\zeta '+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}d\zeta ''+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}d\zeta '''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617ffed167a4d58d17d549645d416bce10e348af)