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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

donc, en intégrant logarithmiquement et passant ensuite des logarithmes aux nombres, on aura

$\mathrm {2AB-C(A+B)+C(B-A)\cos 2\varphi ={\frac {K}{\sin ^{2}\omega }}} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante arbitraire. Or $\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {\frac {1-\cos 2\varphi }{1+\cos 2\varphi }}}\,;$ donc, substituant la valeur précédente, on aura

$\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {\mathrm {\frac {2A(B-C)\sin ^{2}\omega -K}{2B(C-A)\sin ^{2}\omega +K}} }},$

et, mettant cette valeur de $\operatorname {tang} \varphi$ dans les deux premières équations différentielles, on aura

${\begin{aligned}ndt-\mathrm {A} d\psi =&+{\frac {\mathrm {A} d\omega }{\sin \omega }}{\sqrt {\mathrm {\frac {2B(C-A)\sin ^{2}\omega +K}{2A(B-C)\sin ^{2}\omega -K}} }},\\ndt-\mathrm {B} d\psi =&-{\frac {\mathrm {B} d\omega }{\sin \omega }}{\sqrt {\mathrm {\frac {2A(B-C)\sin ^{2}\omega -K}{2B(C-A)\sin ^{2}\omega +K}} }},\end{aligned}}$

équations où les indéterminées sont séparées et qui, étant intégrées, donneront $t$ et $\psi$ en fonctions de $\omega .$

Cette solution revient à celle que d’fllembert a donnée dans le Tome IV de ses Opuscules.

34. Venons au second cas, où l’on suppose le corps grave suspendu par un point fixe, autour duquel il peut tourner en tout sens. En prenant ce point pour le centre du corps, c’est-à-dire pour l’origine commune des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ et $a,\,b,\,c,$ et supposant les ordonnées $\zeta$ verticales et dirigées de haut en bas, on aura, pour le mouvement de rotation du corps, les équations (B) de l’article 23. Ces équations sont plus compliquées que celles du cas précédent, à raison des termes multipliés par les quantités _S$a\operatorname {D} m,$ _S$b\operatorname {D} m,$ _S$c\operatorname {D} m,$ lesquelles ne sont plus nulles lorsque le centre du corps, dont la position est ici donnée, tombe hors de son centre de gravité ; on peut néanmoins encore faire évanouir deux de ces quantités, en faisant passer par le centre de gravité l’un des axes des coordonnées $a,\,b,\,c,$ dont la position dans le corps est arbitraire, ce qui simplifiera un peu les équations dont il s’agit.