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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
il est visible que ces trois intégrales se réduiront à cette forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(p^{2}+q^{2}\right)+\mathrm {C} r^{2}-2\mathrm {K} \zeta '''=2f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7738cc4c942c7ddc1c7488c6d84c960fb5d8f8a2)
![{\displaystyle \mathrm {A} (\zeta 'p+\zeta ''q)+\mathrm {C} \zeta '''r=h,\qquad r=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7a08e50d2af176ebbd4282b70dc9d71d4e293c)
étant des constantes arbitraires.
Donc, si l’on substitue pour
et pour
leurs valeurs en fonctions de
(art. 7, 20), on aura ces trois équations
![{\displaystyle \mathrm {A} {\frac {\sin ^{2}\omega d\psi ^{2}+d\omega ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} n^{2}-2\mathrm {C} \cos \omega =2f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e621dcb177b287af4f972d0e2133135a133eca64)
![{\displaystyle \mathrm {A} {\frac {\sin ^{2}\omega d\psi }{dt}}+\mathrm {C} n\cos \omega =h,\qquad {\frac {d\varphi +\cos \omega d\psi }{dt}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55405d3779ebc0c537fc68b362e28e0306941326)
lesquelles ont, comme l’on voit, l’avantage que les angles finis
et
ne s’y trouvent pas.
La seconde donne d’abord
![{\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {h-\mathrm {C} n\cos \omega }{\mathrm {A} \sin ^{2}\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a303e48f240fabef5e60d6db6b6e97b14183f4)
et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura
![{\displaystyle dt={\frac {\mathrm {A} \sin \omega d\omega }{\sqrt {\mathrm {A} \sin ^{2}\omega \left(2f-\mathrm {C} n^{2}+2\mathrm {K} \cos \omega \right)-(h-\mathrm {C} n\cos \omega )^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2211be091725e5ecf4850b9330d8969fd091c6)
ensuite la deuxième et la troisième donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\psi =&{\frac {(h-\mathrm {C} n\cos \omega )d\omega }{\sin \omega {\sqrt {\mathrm {A} \sin ^{2}\omega \left(2f-\mathrm {C} n^{2}+2\mathrm {K} \cos \omega \right)-(h-\mathrm {C} n\cos \omega )^{2}}}}},\\d\varphi =&{\frac {\left[\mathrm {A} n-h\cos \omega +(\mathrm {C-A} )n\cos ^{2}\omega \right]d\omega }{\sin \omega {\sqrt {\mathrm {A} \sin ^{2}\omega \left(2f-\mathrm {C} n^{2}+2\mathrm {K} \cos \omega \right)-(h-\mathrm {C} n\cos \omega )^{2}}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14a378175815641a227e3a7e5fad6ebb4ae8685)
équations où les indéterminées sont séparées, mais dont l’intégration dépend en général de la rectification des sections coniques.
36. Reprenons les équations (E) et substituons-y les valeurs de