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${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}},{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}$ en $p,q,r\,;$ elles deviendront

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A} dp-\mathrm {G} dr-\mathrm {H} dq}{dt}}+(\mathrm {C-B} )qr+\mathrm {F} (r^{2}-q^{2})-\mathrm {G} pq+\mathrm {H} pr&+\mathrm {K} \zeta ''=0,\\{\frac {\mathrm {B} dq-\mathrm {F} dr-\mathrm {H} dp}{dt}}+(\mathrm {A-C} )pr+\mathrm {G} (p^{2}-r^{2})-\mathrm {H} qr+\mathrm {F} pq&-\mathrm {K} \zeta '\ =0,\\{\frac {\mathrm {C} dr-\mathrm {F} dq-\mathrm {G} dp}{dt}}+(\mathrm {B-A} )pq+\mathrm {H} (q^{2}-p^{2})-\mathrm {F} pr+\mathrm {G} qr&=0.\end{aligned}}$

Dans l’état de repos du corps, les trois quantités $p,\,q,\,r$ sont nulles, puisque ${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}r}}$ est la vitesse instantanée de rotation (art. 29) ; donc on aura alors

$\zeta '=0\qquad {\text{et}}\qquad \zeta ''=0\,;$

en sorte qu’à cause de $\zeta '^{2}+\zeta ''^{2}+\zeta '''^{2}=1$ et, par conséquent, de $\zeta '''=1,$ l’axe des coordonnées $\zeta$ coïncidera avec celui des ordonnées $c\,;$ c’est-à-dire que ce dernier axe qui passe par le centre de gravité du corps, et que nous nommerons dorénavant l’axe du corps, sera vertical, ce qui est l’état d’équilibre du corps ; et cela se voit encore mieux par les formules de l’article 7, lesquelles donnent $\sin \varphi \sin \omega =0,$ $\cos \varphi \sin \omega =0$ et, par conséquent, $\omega =0,$ $\omega$ étant l’angle des deux axes des coordonnées $c$ et $\zeta .$

Si donc, en supposant le corps en mouvement, on suppose en même temps que son axe s’éloigne très peu de la verticale, en sorte que l’angle de déviation $\omega$ demeure toujours très petit, alors les quantités $\zeta ',\,\zeta ''$ seront très petites, et l’on aura le cas où le corps ne fait que de très petites oscillations autour de la verticale, en ayant en même temps un mouvement quelconque de rotation autour de son axe.

Ce cas, qui n’a pas encore été résolu, peut l’être facilement et complètement par nos formules ; car, en regardant $\zeta '$ et $\zeta ''$ comme très petites du premier ordre et négligeant, les quantités très petites du second ordre et des ordres suivants, on trouve, par les équations de condition de l’article 5,

$\zeta '''=1,\qquad \xi '''=-\xi '\zeta '-\xi ''\zeta '',\qquad \eta '''=-\eta '\zeta '-\eta ''\zeta ''$