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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.
lesquelles donnent
de sorte qu’on aura cette équation en 
![{\displaystyle \left[\mathrm {C-B+L+A} i^{2}\right]\left[\mathrm {C-A+L+B} i^{2}\right]+(\mathrm {C-A-B} )^{2}i^{2}-\mathrm {H} ^{2}\left(1+i^{2}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc8e440040a52aa93936cb22c5a1d49313d3b57)
laquelle, en faisant 
se réduit à cette forme
![{\displaystyle \mathrm {\left(AB-H^{2}\right)\rho ^{2}+\left[(A+B)(L-C)+C^{2}\right]\rho +L^{2}-2L(A+B-C)=0} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf45554ecf5765f57b7962d3f27701ea8fb7e7d)
Ayant déterminé 
par cette équation, on aura
et la constante 
demeurera indéterminée. Or, comme l’équation en a deux racines, et que le radical 
peut être pris également en plus et en moins, on aura ainsi quatre valeurs différentesde 
lesquelles, étant réunies, satisferont également aux équations proposées, puisque les variables 
n’y sont que sous la forme linéaire. Prenant donc quatre constantes différentes pour 
on aura de cette manière les valeurs complètes de 
et 
puisque ces valeurs, ne dépendant que de deux équations différentielles du second ordre, ne sauraient renfermer au delà de quatre constantes arbitraires.
39. Pour que les expressions de et 
ne contiennent point d’arcs de cercle, il faut que soit imaginaire, et qu’ainsi soit une quantité réelle et moindre que l’unité.
Dénotons par et 
les deux racines de l’équation en 
supposées réelles et moindres que l’unité, et donnons aux quatre constantes arbitraires cette forme imaginaire
on aura, en faisant ces substitutions et passant des exponentielles
