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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
Qu’on les divise par
et qu’on y remette, pour plus de simplicité,
à la place de
en se souvenant que
est désormais constant, on aura, en ordonnant les termes et faisant
(art. 34),
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C-A+L} )s+\mathrm {B} {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+(\mathrm {C-A-B} ){\frac {du}{d\theta }}+\mathrm {H} \left(u+{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\right)+\mathrm {G} =&0,\\(\mathrm {C-B+L} )u+\mathrm {A} {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-(\mathrm {C-A-B} ){\frac {ds}{d\theta }}+\mathrm {H} \left(s\,+{\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}\,\right)+\mathrm {F} =&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f1ba8c4d16904408d8d82aa8aef47f313c8a44)
Pour intégrer ces équations, je commence par faire disparaître les termes tout constants, en supposant
et déterminant les constantes
en sorte que les termes
et
disparaissent ce qui donnera ces deux équations de condition
![{\displaystyle (\mathrm {C-A+L} )f+\mathrm {H} h+\mathrm {G} =0,\qquad (\mathrm {C-B+L} )h+\mathrm {H} f+\mathrm {F} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e7957f369c32b7dbde9f4e22c4a4ab33e16c37)
d’où l’on tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}f=&\mathrm {\frac {FH-G(C-B+L)}{(C-B+L)(C-A+L)-H^{2}}} ,\\h=&\mathrm {\frac {GH-F(C-A+L)}{(C-B+L)(C-A+L)-H^{2}}} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e62a50ecc2aa7be71acc0f3f711337ef3afe46)
et l’on aura en
les mêmes équations qu’en
avec cette seule différence que les termes constants
n’y seront plus.
Je suppose maintenant
![{\displaystyle x=\alpha e^{i\theta },\qquad y=\beta e^{i\theta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6df7a175d1e64e1b11523a617956a1849733e48)
et
étant des constantes indéterminées, et
le nombre dont le logarithme hyperbolique est
Comme tous les termes des équations à intégrer contiennent
et
à la première dimension, il s’ensuit qu’ils seront, après les substitutions, tous divisibles par
et il restera ces deux équations de condition
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathrm {C-A+L+B} i^{2}\right]\alpha +\left[(\mathrm {C-A-B} )i-\mathrm {H} \left(1+i^{2}\right)\right]\beta =&0,\\\left[\mathrm {C-B+L+A} i^{2}\right]\beta -\left[(\mathrm {C-A-B} )i-\mathrm {H} \left(1+i^{2}\right)\right]\alpha =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c302ecab0d04ab54ba1a0fb8d8fdb0287d81dbb5)