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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Qu’on les divise par $n^{2},$ et qu’on y remette, pour plus de simplicité, $d\theta ,$ à la place de $ndt,$ en se souvenant que $d\theta$ est désormais constant, on aura, en ordonnant les termes et faisant $\mathrm {L} ={\frac {\mathrm {K} }{n^{2}}}={\frac {km}{n^{2}}}$ (art. 34),

${\begin{aligned}(\mathrm {C-A+L} )s+\mathrm {B} {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+(\mathrm {C-A-B} ){\frac {du}{d\theta }}+\mathrm {H} \left(u+{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\right)+\mathrm {G} =&0,\\(\mathrm {C-B+L} )u+\mathrm {A} {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-(\mathrm {C-A-B} ){\frac {ds}{d\theta }}+\mathrm {H} \left(s\,+{\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}\,\right)+\mathrm {F} =&0.\end{aligned}}$

Pour intégrer ces équations, je commence par faire disparaître les termes tout constants, en supposant $s=x+f,$ $u=y+h,$ et déterminant les constantes $f,h,$ en sorte que les termes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ disparaissent ce qui donnera ces deux équations de condition

$(\mathrm {C-A+L} )f+\mathrm {H} h+\mathrm {G} =0,\qquad (\mathrm {C-B+L} )h+\mathrm {H} f+\mathrm {F} =0\,;$

d’où l’on tirera

${\begin{aligned}f=&\mathrm {\frac {FH-G(C-B+L)}{(C-B+L)(C-A+L)-H^{2}}} ,\\h=&\mathrm {\frac {GH-F(C-A+L)}{(C-B+L)(C-A+L)-H^{2}}} \,;\end{aligned}}$

et l’on aura en $x,\,y,\,\theta$ les mêmes équations qu’en $s,\,u,\,\theta ,$ avec cette seule différence que les termes constants $\mathrm {G,\,F}$ n’y seront plus.

Je suppose maintenant

$x=\alpha e^{i\theta },\qquad y=\beta e^{i\theta },$

$\alpha ,\,\beta$ et $i$ étant des constantes indéterminées, et $e$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1.$ Comme tous les termes des équations à intégrer contiennent $x$ et $y$ à la première dimension, il s’ensuit qu’ils seront, après les substitutions, tous divisibles par $e^{i\theta },$ et il restera ces deux équations de condition

${\begin{aligned}\left[\mathrm {C-A+L+B} i^{2}\right]\alpha +\left[(\mathrm {C-A-B} )i-\mathrm {H} \left(1+i^{2}\right)\right]\beta =&0,\\\left[\mathrm {C-B+L+A} i^{2}\right]\beta -\left[(\mathrm {C-A-B} )i-\mathrm {H} \left(1+i^{2}\right)\right]\alpha =&0,\end{aligned}}$