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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

on aura par les formules connues, $i$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1,$

$\sin \theta ={\frac {i^{\Theta }-i^{-\Theta }}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos \theta ={\frac {i^{\Theta }+i^{-\Theta }}{2}},$

et les équations de l’article précédent deviendront

${\begin{aligned}t-c=&{\sqrt {\mathrm {\frac {A^{3}}{g}} }}\left(\Theta -e.{\frac {i^{\Theta }-i^{-\Theta }}{2}}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}{\frac {i^{{\frac {1}{2}}\Theta }-i^{-{\frac {1}{2}}\Theta }}{i^{{\frac {1}{2}}\Theta }+i^{-{\frac {1}{2}}\Theta }}},\end{aligned}}$

à cause de $e>1.$

18. L’équation

$r(1+e\cos \Phi )=b,$

trouvée dans l’article 15, donne, en substituant $\mathrm {X}$ pour $r\cos \Phi$ (art. 13),

$\mathrm {X} ={\frac {b-r}{e}}={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{e}}.$

Substituant pour $r$ sa valeur en $\theta ,$ $a(1-e\cos \theta ),$ on aura

$\mathrm {X} =a(\cos \theta -e),$

et, comme $\mathrm {Y} ={\sqrt {r^{2}-\mathrm {X} ^{2}}},$ on trouvera

$\mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,$

expressions fort simples qu’on pourra substituer dans les expressions générales de $x,y,z$ du même article.

Ainsi il ne s’agira plus que de substituer la valeur de $\theta$ en $t,$ tirée de l’équation donnée dans l’article 16, pour avoir les trois coordonnées en fonction du temps.

19. L’angle $\theta ,$ que nous venons d’introduire à la place de $t,$ est ce qu’on appelle en Astronomie anomalie excentrique, et qui répond à l’anomalie moyenne $(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}$ et à l’anomalie vraie $\Phi \,;$ mais les astro-